Qaysi biri koʻp: natural sonlarmi (1, 2, 3, …) yoki juft sonlarmi (2, 4, 6, …)? Birinchi javob: natural sonlar, ikki marta koʻp! Lekin ikkalasi ham cheksiz. Cheksizlikni qanday solishtiramiz?
Nemis matematigi Georg Kantor (Georg Cantor, 1845–1918) javobni oddiy narsadan boshladi. Kichik bola sanashni bilmasa ham, qaysi qatorda sharcha koʻp ekanini bilib oladi: ularni bittadan juftlash kifoya. Kimda ortib qolsa — oʻsha koʻp.
Natural va juft sonlarni juftlaymiz: 1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, … Har bir songa roppa-rosa bitta jufti bor, hech kim ortib qolmaydi. Demak ular teng! «Hilbert mehmonxonasi»ni eslang — u yerda ham aynan shu hiyla ishlagan edi. Kantor hatto barcha kasrlarni ham bitta roʻyxatga terib chiqish mumkinligini koʻrsatdi.
Unda hamma cheksizliklar tengmi? Kantorning eng mashhur kashfiyoti — yoʻq.
Faqat 0 va 1 dan iborat cheksiz ketma-ketliklarni olaylik: 0110…, 1101… va hokazo. Kimdir «Men ularning hammasini roʻyxatga terib chiqdim» deydi. Kantor buni tekshirmaydi ham — u bitta yangi ketma-ketlik yasaydi.
Birinchi qatordan 1-raqamni, ikkinchi qatordan 2-raqamni, uchinchidan 3-raqamni oladi — roʻyxat boʻylab qiya chiziq, diagonal boʻylab yuradi. Keyin har bir raqamni teskarisiga oʻzgartiradi: 0 ni 1 ga, 1 ni 0 ga.
Yangi ketma-ketlik birinchi qatordan birinchi raqamda farq qiladi. Ikkinchi qatordan — ikkinchi raqamda. Yuzinchi qatordan — yuzinchi raqamda. Demak u roʻyxatning hech qayerida yoʻq! Roʻyxat qanday tuzilmasin, undan nimadir doim tashqarida qoladi.
Xulosa: bunday ketma-ketliklar natural sonlardan koʻproq. Cheksizliklarning ham pogʻonalari bor. Kantor bu usulni 1891-yilda eʼlon qildi.
Koʻp zamondoshlari uning gʻoyalarini rad etdi. Ammo vaqt Kantorni oqladi. 1926-yilda David Hilbert shunday degan: «Kantor yaratgan jannatdan bizni hech kim haydab chiqara olmaydi».