«÷» oʻyinchoqni olgan sonlar avval ehtiyotkorlik bilan oʻynashdi. Olti uchga boʻlindi — ikki chiqdi. Sakkiz toʻrtga — yana ikki. Hamma xursand: natija doim butun son — eski tanish!
Keyin Yetti oʻzini ikkiga boʻlib koʻrdi. Natijada… uch butun va yana bir yarim chiqdi. 7 ÷ 2 = 3½ = 3,5. Hech kimga oʻxshamaydigan son! Biri hayron, biri xursand, yana biri oʻziga joy topolmas edi.
Shunday natijalar koʻpaydi: 1 ÷ 4 = 0,25, 3 ÷ 4 = 0,75. Ular ikki son orasidagi yerlarga — kecha qirol chizgan oraliqlarga — oʻzlari borib joylashishdi va oʻzlarini Nisbat xalqi deb atashdi:
— Biz ikki butun sonning nisbatidan yaralganmiz!
Ular «÷» belgisini yotqizib, ustiga bir sonni, ostiga ikkinchisini qoʻyib yozishni yaxshi koʻrishardi: ¾. Qirol Noʻl esa bu chiziqni koʻrsa, eti jimirlab ketardi: axir uning ostiga tushish — oʻsha dahshatli kechaning oʻzi edi.
— Umrbod shu chiziqning kasriga qoldim-a, — deb toʻngʻillardi u.
Shu-shu bu chiziq kasr chizigʻi deb ataldi. Qoida esa oʻzgarmadi: chiziq ustida nol tursa mayli (0/5 = 0), lekin chiziq ostida — hech qachon.
Bir kuni muammo chiqdi. Yetti uchga boʻlinmoqchi boʻldi. Natija ikki butun… va keyin bir Uch gapira boshladi:
— …uch, uch, uch, uch, uch…
Kun botdi. Uch hamon gapirardi. Tong otdi — hamon: «…uch, uch, uch…» Xuddi tamada mikrofonni qoʻlidan qoʻymagan toʻydek.
— Kimdir mikrofonni olsin! — yigʻlab yubordi Minusjon.
Qirol Noʻl uch kun quloq solib oʻtirdi va oxiri bir narsani payqadi: Uch boshqa hech narsa demayapti. Faqat bir xil gapni takrorlayapti. U jilmaydi:
— Xoʻp. Buni 2,(3) deb yozamiz — qavs ichidagisi abadiy takrorlanadi. Yoki shunchaki 7/3. Bas!
Uch nihoyat jim boʻldi. Bu sonlar cheksiz boʻlsa ham — davriy edi, yaʼni nazorat ostida edi.
Nisbat xalqi esa kuchaydi. Bir kuni ular ajoyib kashfiyot qilishdi: istalgan butun sonni kasr chizigʻining ustiga chiqarib, ostiga Birjonni qoʻysa, son oʻzgarmas ekan. 5 = 5/1. −3 = −3/1. 0 = 0/1.
— Demak, siz ham bizdansiz! — deb eʼlon qilishdi ular butun sonlarga.
Qirol ham, butun sonlar ham eʼtiroz bildira olmadi — matematikaga qarshi chiqib boʻlmaydi. Shu kechadan boshlab butun saltanat ratsional sonlar saltanati deb ataldi. Butun sonlar unda faxriy amaldorlar boʻldi, Qirol Noʻl esa uning hurmatli hukmdori — faqat bitta vaʼda bilan: hech qachon kasr chizigʻi ostiga tushmaslik.
Hamma tinch, hamma xursand edi. Ammo bitta lekin bor edi. Buni hali hech kim bilmas edi.
Ratsional soʻzi lotincha ratio — «nisbat» soʻzidan. Ratsional son — ikki butun sonning nisbati: a/b, bunda b ≠ 0 (chiziq ostida nol boʻlmaydi — ertakdagi qonun aynan shu).
Har bir ratsional son oʻnli kasr koʻrinishida yo tugaydi (3/4 = 0,75), yo davriy takrorlanadi (1/3 = 0,333…). Diqqat: «cheksiz» degani hali «ratsional emas» degani emas — 2,333… ham ratsional.
Keyingi qismda: sonlar kvadrat minoralar va ildiz yertoʻlalarini kashf qiladi. Ikki yertoʻlaga tushadi… va chiqa olmaydi.