Printerdan bir varaq oling. Ehtimol, u A4 — dunyodagi eng koʻp ishlatiladigan qogʻoz oʻlchami. Uning tomonlari 210 mm va 297 mm. Gʻalati sonlar, shunday emasmi? Nega 200 va 300 emas?
Chunki bu sonlar tanlanmagan — ular hisoblab chiqarilgan.
Talab bitta edi: varaqni uzun tomoni boʻylab ikkiga buklaganda, hosil boʻlgan yangi varaq nisbat jihatidan avvalgisining aynan oʻzi boʻlsin. Faqat kichikroq.
Bu shart koʻrinishdan oddiy, lekin uni qanoatlantiradigan oʻxshash shakl bitta: uzun tomonning qisqa tomonga nisbati √2 boʻlgan toʻrtburchak. Bu son butun ham emas, kasr ham emas — u 1 bilan 2 orasida turadi, chunki 1 × 1 = 1, 2 × 2 = 4, kerakli son esa oʻziga koʻpaytirilganda 2 ni berishi kerak. Bunday sonni topish amali kvadrat ildiz chiqarish deyiladi.
Tekshirib koʻring: 297 ÷ 210 — javob √2 ga juda yaqin chiqadi.
Butun qator A0 dan boshlanadi. Uning yuzasi taxminan 1 m² qilib olingan. A0 ni buksangiz A1, uni buksangiz A2 chiqadi va hokazo. A0 dan A4 gacha toʻrtta buklash bor, demak yuza 2 × 2 × 2 × 2 = 16 marta kichrayadi.
Bundan juda amaliy narsalar kelib chiqadi.
Birinchidan, nusxa koʻchirgichdagi tugmalar. A4 ni A5 ga kichraytirish uchun apparat 71% ni tanlaydi — bu √2 ning teskarisi. Ikkinchidan, qogʻoz sotib olish. Qutida «80 g/m²» deb yozilgan boʻlsa — bu qogʻozning yuza zichligi — bitta A4 ning ogʻirligini hisoblash oson: u A0 dan 16 marta kichik, demak taxminan 5 gramm.
Uchinchidan — hech narsa isrof boʻlmaydi. Katta rulondan A qatorining varaqlarini kesganda chekka qolmaydi, chunki har bir oʻlcham oldingisining roppa-rosa yarmi.
Bu tizim 1922-yilda Germaniyada qabul qilingan va bugun deyarli butun dunyo shundan foydalanadi. Qoʻlingizdagi oddiy varaq — aslida bir asrlik matematik qarorning natijasi.