Kechasi charchagan yoʻlovchi mehmonxonaga kiradi. Qabulxonada yozuv: «Barcha xonalar band». Odatda bu suhbatning oxiri. Ammo bu oddiy mehmonxona emas.
Bu — Hilbert mehmonxonasi. Uni nemis matematigi David Hilbert (David Hilbert) 1924-yildagi bir maʼruzasida oʻylab topgan. Mehmonxonada cheksiz koʻp xona bor: 1, 2, 3, 4 va shunday davom etadi, hech qachon tugamaydi. Va har bir xonada mehmon yashaydi.
Yangi yoʻlovchi uchun joy bormi? Oʻylab koʻring.
Menejer mikrofonni oladi va bitta buyruq beradi: «Har kim oʻz xonasining keyingisiga koʻchsin». 1-xonadagi mehmon 2-xonaga, 2-xonadagisi 3-xonaga oʻtadi va hokazo. Hech kim koʻchada qolmaydi, chunki «eng oxirgi xona» degan narsa yoʻq. Natijada 1-xona boʻshaydi — yoʻlovchi kirib yotadi.
Ertasiga yanada qiyinroq: mehmonxona oldiga cheksiz uzun avtobus keladi. Unda cheksiz koʻp yoʻlovchi bor. Endi har kimni bittadan siljitish yetmaydi.
Menejer yangi buyruq beradi: «Har kim oʻz xona raqamini ikkiga koʻpaytirsin va oʻsha xonaga koʻchsin». 1 → 2, 2 → 4, 3 → 6… Eski mehmonlar hammasi juft xonalarga joylashadi. Barcha toq xonalar — 1, 3, 5, 7… — boʻshab qoladi. Ular ham cheksiz koʻp, demak avtobusdagi hammaga joy yetadi.
Bu kulgili ertak emas, jiddiy gʻoya. Chekli toʻplamda qism hech qachon butunga teng boʻlmaydi: savatdagi olmalarning yarmi butun savatdan kam. Cheksizlikda esa juft sonlarning oʻzi barcha natural sonlar bilan bittadan mos qoʻyiladi: 1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6…
Hilbert shu bilan bir narsani koʻrsatmoqchi edi: cheksizlik — bu shunchaki «juda katta son» emas. U oʻzining qoidalari bilan yashaydigan butunlay boshqa olam.