Karl Fridrix Gauss (1777–1855) — nemis matematigi. Uni koʻpincha tarixdagi eng buyuk matematiklardan biri deb atashadi: u sonlar nazariyasida, geometriyada, astronomiyada va fizikada ishlagan.
Uning bolaligi haqida bir rivoyat bor. Rivoyat qilishlaricha, u hali boshlangʻich sinfda oʻqiyotganda oʻqituvchi sinfga uzoq davom etadigan vazifa bergan: 1 dan 100 gacha boʻlgan hamma sonni qoʻshing.
Oʻqituvchining hisobiga koʻra bu bolalarni bir soatga band qilishi kerak edi. Kichkina Gauss esa bir necha soniyadan keyin javobni aytgan: 5050.
Tafsilotlar turli manbalarda har xil aytiladi — bu rivoyatning tabiati. Lekin uning ichidagi matematika aniq va uni har kim tekshira oladi.
Gauss tezroq qoʻshmagan. U sonlarni boshqacha joylashtirgan.
Qatorni ikki uchidan olib juftlash mumkin: birinchi son bilan oxirgisi, ikkinchi son bilan oxiridan ikkinchisi va hokazo.
1 + 100 = 101. 2 + 99 = 101. 3 + 98 = 101.
Bu tasodif emas. Bir tomondan son bittaga oshadi, ikkinchi tomondan bittaga kamayadi — demak yigʻindi oʻzgarmas qoladi. Bu — PM-96 dagi invariant gʻoyasining oʻzi.
Yuzta son ikkitadan juftlansa, 50 ta juftlik hosil boʻladi. Har birining yigʻindisi 101 ga teng.
Demak yigʻindi 50 × 101 = 5050.
Endi eng qizigʻi. Bu usul faqat 100 uchun emas — istalgan son uchun ishlaydi. Agar sonlar 1 dan n gacha boʻlsa, juftliklar soni n ÷ 2 ta, har birining yigʻindisi esa n + 1 ga teng.
Shundan formula chiqadi: n × (n + 1) ÷ 2.
Uni kichik sonlarda tekshirish oson. n = 4 uchun: 4 × 5 ÷ 2 = 10, va haqiqatan 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ✓ n = 10 uchun: 10 × 11 ÷ 2 = 55 ✓
Bu hikoyada eng muhimi tezlik emas. Muhimi shuki, Gauss savolni oʻzgartirgan. Oʻqituvchi «qoʻshing» degan edi; bola esa oʻzidan soʻragan: bu sonlarda qanday namuna bor?
Aynan shu — umumlashtirish matematikaning yuragi. Bitta masalani yechish — bir masalani hal qiladi. Namunani koʻrish esa cheksiz koʻp masalani birdaniga hal qiladi.
Gauss keyinchalik shunday yozgan deb keltiriladi: matematika — fanlar malikasi. Uning bu qarashi, ehtimol, ana shu darsdan boshlangandir.