Toshkentda soch tolalari soni roppa-rosa bir xil boʻlgan kamida ikki kishi bor.
Bu gapni isbotlash uchun birorta ham odamning sochini sanash shart emas. Umuman hech kimni koʻrish ham shart emas. Yetarli ikkita son bor.
Birinchi son. Odam boshidagi soch tolalari soni odatda 100 000 dan 150 000 gacha boʻladi. Ehtiyot boʻlaylik va yuqori chegarani ancha kattaroq — 200 000 deb olaylik. Demak sochlar soni 0 dan 200 000 gacha boʻlgan sonlardan biri: jami 200 001 xil variant.
Ikkinchi son. Toshkent aholisi taxminan 3 000 000 kishi.
Endi ikkalasini yonma-yon qoʻyamiz. Uch million odam bor, lekin ular uchun atigi ikki yuz ming bir xil son mavjud.
Har bir odamni bitta uyaga joylashtiramiz — uning sochlari soniga qarab. Uyalar 200 001 ta, odamlar esa 3 000 000 ta.
Bu — Dirixle prinsipining aynan oʻzi. Odamlar uyalardan koʻp, demak kamida bitta uyada ikkita odam bor.
Isbotni teskari faraz bilan koʻrsatish mumkin. Aytaylik, hamma odamning sochlari soni har xil boʻlsin. Unda har bir uyada koʻpi bilan bitta odam boʻlardi va shahardagi odamlar soni 200 001 dan oshmasdi. Lekin bizda 3 000 000 kishi bor. Ziddiyat — demak faraz notoʻgʻri.
Aslida xulosa ancha kuchliroq. Odamlarni uyalarga boʻlib koʻraylik: 3 000 000 ÷ 200 001 ≈ 15.
Agar har bir uyada koʻpi bilan 14 kishi boʻlganda, jami 200 001 × 14 = 2 800 014 kishi boʻlardi — bu esa uch milliondan kam. Demak biror uyada kamida 15 kishi bor.
Yaʼni Toshkentda sochlari soni tamomila bir xil boʻlgan kamida oʻn besh kishi yashaydi. Va bu — kafolat, taxmin emas.
Endi eng muhim gap. Prinsip bu odamlarning kimligini aytmaydi. U ularni topib bermaydi, ismini bilmaydi, qaysi mahallada yashashini koʻrsatmaydi. U faqat bitta narsani aytadi: bunday odamlar bor.
Matematikada bunday isbot mavjudlik isboti deyiladi. U gʻalati tuyulishi mumkin — axir biror narsani topmasdan turib, uning borligini qanday bilamiz?
Lekin bu kundalik hayotda ham uchraydi — va har safar sanoq mulohazasi bilan. Konsertda 400 kishi bor ekan, ulardan ikkitasi bir kunda tugʻilganini bilasiz — kimligini soʻramasdan ham.
Prinsipni XIX asrda nemis matematigi Peter Gustav Lejeune Dirichlet ishlatgan va uning nomi bilan atalgan. Nomi jiddiysiz tuyuladi — «kaptarxona qoidasi». Lekin uning yordamida bugun ham jiddiy teoremalar isbotlanadi.
Eng qizigʻi shundaki, bu qoidani hech kim isbotlashi shart emas edi. U shunchalik ravshanki, bolaga ham tushuntirsa boʻladi: beshta kaptar toʻrtta uyaga sigʻmaydi.