Mathematics

SAT-32: Factoring Advanced Quadratics (ax² + bx + c)

x² oldida son turganda AC usuli ishlatiladi: a·c ni koʻpaytiring, shu koʻpaytmani beradigan va b ni yigʻadigan ikki sonni toping, keyin guruhlang.

powerty

Iyun 26, 2026

23 5 daqiqa 0

SAT-32: Factoring Advanced Quadratics (ax² + bx + c)

SAT-31 da x² oldida hech narsa yoʻq edi, va ikki son izlash yetardi. Endi u yerda son paydo boʻladi: 2x² + 7x + 3. Taxmin qilish bilan ham topish mumkin, lekin tartibli usul bor — va u har safar ishlaydi.

Bu darsdan keyin siz

AC usulini bosqichma-bosqich qoʻllaysiz;
oʻrtadagi hadni ikkiga boʻlib, guruhlash bilan ajratasiz (SAT-29);
manfiy koeffitsientlarda ham adashmaysiz;
javobni qavsni ochib tekshirasiz.

The AC method a · c → koʻpaytmasi ac, yigʻindisi b → guruhlash

Toʻrt qadam

2x² + 7x + 3 a = 2, b = 7, c = 3

a · c = 6 1-qadam: chekkadagi ikki sonni koʻpaytirdik

6 = 6 × 1, va 6 + 1 = 7 ✓ 2-qadam: koʻpaytmasi 6, yigʻindisi 7 boʻlgan juftlik

2x² + 6x + x + 3 3-qadam: oʻrtadagi hadni shu ikki songa boʻldik

2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1) 4-qadam: guruhlash (SAT-29)

Oʻzbekcha Uchinchi qadamda ikki sonni qaysi tartibda yozish ahamiyatsiz: 2x² + x + 6x + 3 ham xuddi shu javobni beradi. Guruhlashda qavs ichidagilar baribir bir xil chiqadi.

Manfiy koeffitsient bilan

3x² − 10x + 8 a · c = 24; b manfiy, c musbat → ikkala son ham manfiy

(−6)(−4) = 24 ✓ va −6 + (−4) = −10 ✓ Juftlik topildi

3x² − 6x − 4x + 8 Oʻrtadagi had boʻlindi

3x(x − 2) − 4(x − 2) = (x − 2)(3x − 4) Ikkinchi guruhdan −4 chiqarildi, +4 emas

Ehtiyot boʻling Ikkinchi guruh manfiy had bilan boshlansa, undan manfiy koʻpaytuvchi chiqaring. Aks holda qavs ichidagilar mos kelmaydi va guruhlash toʻxtab qoladi.

Misol (SAT darajasi) — katta sonlar

6x² + 11x − 10 a · c = −60; ishoralar har xil boʻladi

15 × (−4) = −60 ✓ va 15 + (−4) = 11 ✓ Juftlikni tartib bilan izladik: 1·60, 2·30, 3·20, 4·15

6x² + 15x − 4x − 10 Oʻrtadagi had boʻlindi

3x(2x + 5) − 2(2x + 5) = (2x + 5)(3x − 2) Tekshiruv: qavslarni oching — 6x² + 11x − 10 ✓

Oʻqituvchi maslahati Har doim GCF dan boshlang (SAT-29). 6x² + 15x + 6 da avval 3 ni chiqaring: 3(2x² + 5x + 2). Kichikroq sonlar bilan AC usuli ancha tez ishlaydi.

Exam English — savol qanday soʻraydi

factor completelytoʻliq ajrating
which is a factor ofqaysi biri koʻpaytuvchi
the solutions to the equationtenglamaning yechimlari
where a, b and c are integersa, b va c — butun sonlar
rewrite the middle termoʻrtadagi hadni qayta yozing

SAT savollari

SAT-style question 60 s

Which expression is equivalent to 2x² + 7x + 3?

(2x + 1)(x + 3)
(2x + 3)(x + 1)
(2x + 7)(x + 3)
(x + 1)(x + 3)

Yechimni koʻrish

Javob: A) (2x + 1)(x + 3)

Oching: 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3 ✓

(2x + 3)(x + 1) ochilganda 2x² + 5x + 3 beradi — sonlar oʻrin almashganda oʻrta had oʻzgaradi.

Tuzoq javob (2x + 3)(x + 1) Toʻgʻri sonlar, notoʻgʻri joyda. a ≠ 1 boʻlganda sonlarning oʻrni oʻrta hadni oʻzgartiradi — javobni albatta oching.

SAT-style question 80 s

Which expression is equivalent to 6x² + 11x − 10?

(2x − 5)(3x + 2)
(3x − 2)(2x + 5)
(6x − 5)(x + 2)
(3x + 2)(2x − 5)

Yechimni koʻrish

Javob: B) (3x − 2)(2x + 5)

Oching: 6x² + 15x − 4x − 10 = 6x² + 11x − 10 ✓

(2x − 5)(3x + 2) — oʻsha sonlar, lekin ishoralar boshqa qavsda: u 6x² − 11x − 10 beradi.

Tuzoq javob (2x − 5)(3x + 2) Minus notoʻgʻri qavsda: natija oʻrta hadning ishorasini teskari qiladi. Bitta koʻpaytmani (Outer + Inner) hisoblab tekshirish yetadi.

Test-day taktikasi

Javoblar qavs boʻlsa, ajratmang — oching:

Har bir javobning oxirgi sonini tekshiring (Last): mos kelmasa oʻchiring.
Qolganlarining oʻrta hadini hisoblang (Outer + Inner).
Yoki bitta son qoʻying: x = 1 koʻpincha ikki javobni ajratadi.

2x² + 7x + 3 = (2x + 3)(x + 1)

(2x + 1)(x + 3)

Sonlar oʻrin almashgan: birinchi variant 5x beradi, 7x emas.

3x² − 6x − 4x + 8 = 3x(x − 2) + 4(x − 2)

3x(x − 2) − 4(x − 2)

Ikkinchi guruh −4x bilan boshlanadi, demak chiqariladigan koʻpaytuvchi ham manfiy.

Oʻzbekcha AC usulining eng qimmatli tomoni — u taxminga oʻrin qoldirmaydi. Katta sonlarda (masalan 6 va −10) taxmin qilish oʻnlab urinish talab qiladi; AC esa uch qadamda javobga olib boradi.

Oʻzbekcha a ≠ 1 boʻlgan ifodada javob qavslarining tartibi ahamiyatsiz: (x + 3)(2x + 1) va (2x + 1)(x + 3) bir xil javob. SAT ikkalasini ham toʻgʻri deb hisoblaydi, shuning uchun variantlar orasida ikkalasi boʻlmaydi.

Mashq

1 Factor: 2x² + 5x + 2

Javobni koʻrish

(2x + 1)(x + 2) — ac = 4, juftlik 4 va 1.

2 Factor: 3x² + 7x + 2

Javobni koʻrish

(3x + 1)(x + 2) — ac = 6, juftlik 6 va 1.

3 Factor: 2x² − 7x + 6

Javobni koʻrish

(2x − 3)(x − 2) — ac = 12, juftlik −3 va −4.

4 Factor: 5x² + 11x + 2

Javobni koʻrish

(5x + 1)(x + 2) — ac = 10, juftlik 10 va 1.

5 A rectangle has an area of 2x² + 7x + 3 square metres. Write its possible dimensions.

Javobni koʻrish

(2x + 1) va (x + 3) metr. Ajratish — yuzadan tomonlarni topish demakdir.

Key words

leading coefficientbosh koeffitsient (a)
the AC methodAC usuli
rewrite the middle termoʻrtadagi hadni qayta yozish
groupingguruhlash
factor pairkoʻpaytuvchi juftligi
expand to checktekshirish uchun ochish
integersbutun sonlar
dimensionsoʻlchamlar
trial and errortaxmin qilib koʻrish
systematictartibli, tizimli

Esda qoladigan uch narsa

a · c ni koʻpaytiring, keyin koʻpaytmasi ac va yigʻindisi b boʻlgan juftlikni toping.
Oʻrtadagi hadni ikkiga boʻlib, guruhlang — ikkinchi guruh manfiy boʻlsa, manfiy koʻpaytuvchi chiqaring.
Javoblar qavs boʻlsa, ajratmang — oching va solishtiring.

Rivojlanishni kuzatish uchun kiring

Foydali bo'ldimi? Yoqdi 0 Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring

Barcha darsliklar

powerty

Muallif · Staff

Iyun 26, 2026 Sen. 4, 2026

Ko'rishlar

Yoqishlar

O'qildi