Mathematics

SAT-80: Completing the Square to Find a Circle's Center and Radius

Aylana tenglamasi yoyilgan holda berilsa — uni toʻliq kvadratga toʻldirib, markaz va radiusni koʻrinadigan qilamiz.

Iyun 26, 2026

20 5 daqiqa 0

SAT-80: Completing the Square to Find a Circle's Center and Radius

SAT-79 da aylana tayyor holda berildi. Endi test uni yashiradi: qavslar ochilib, hamma narsa bitta qatorga yoyilgan. Markaz ham, radius ham koʻrinmaydi. Vazifa — qavslarni qaytadan yopish, va bu Blok D dagi eng koʻp qadamli savol.

Formula varagʻi

VARAQDA YOʻQ: na aylana tenglamasi, na toʻliq kvadratga toʻldirish. Bu dars butunlay xotira va usulga tayanadi — shuning uchun Blok D ni u yakunlaydi.

Bu darsdan keyin siz

yoyilgan tenglamani standart koʻrinishga keltirasiz;
«yarmini ol, kvadratga koʻtar, ikkala tomonga qoʻsh» usulini avtomatik bajarasiz;
x va y ni alohida-alohida toʻldirasiz;
Desmos bilan javobni 10 soniyada tekshirasiz.

Usul — uch qadam

The move

Guruhlang: x lar birga, y lar birga, ozod had oʻng tomonga.
Toʻldiring: har bir guruhda koeffitsiyentning yarmini oling, kvadratga koʻtaring, ikkala tomonga qoʻshing.
Yozing: qavslarni yoping va oʻng tomondagi sonni r² deb oʻqing.

x² + y² − 6x + 4y − 12 = 0 Berilgan — markaz koʻrinmaydi

(x² − 6x) + (y² + 4y) = 12 Guruhladik, −12 ni oʻngga oʻtkazdik

−6 ning yarmi −3, kvadrati 9 x guruhiga 9 kerak

4 ning yarmi 2, kvadrati 4 y guruhiga 4 kerak

(x² − 6x + 9) + (y² + 4y + 4) = 12 + 9 + 4 Ikkala tomonga ham qoʻshdik — muvozanat

(x − 3)² + (y + 2)² = 25 Markaz (3, −2), radius 5

Ehtiyot boʻling — asosiy xato 9 va 4 ni faqat chap tomonga qoʻshib qoʻyish. Tenglamaning ikkala tomoniga ham qoʻshilmasa, u boshqa aylanaga aylanadi va radius notoʻgʻri chiqadi.

Oʻzbekcha Qavs ichidagi son — bu yarmi, kvadrati emas. x² − 6x + 9 dan (x − 3)² chiqadi: 3 — bu 6 ning yarmi. Oʻquvchilar tez-tez 9 ni qavsga yozib yuborishadi.

Ikkinchi misol

x² + y² + 10x − 2y + 17 = 0 → (x² + 10x) + (y² − 2y) = −17.

10 ning yarmi 5, kvadrati 25. −2 ning yarmi −1, kvadrati 1.

(x + 5)² + (y − 1)² = −17 + 25 + 1 = 9. Markaz (−5, 1), radius 3 ✓

Oʻqituvchi maslahati Oʻng tomon manfiy sondan boshlansa ham qoʻrqmang — qoʻshib borilganda u odatda musbatga aylanadi. Yuqorida −17 dan 9 chiqdi.

Exam English — savol qanday soʻraydi

completing the squaretoʻliq kvadratga toʻldirish
standard formstandart koʻrinish
the length of the radiusradiusning uzunligi
the graph of the equationtenglamaning grafigi
what are the coordinates of the centermarkazning koordinatalari

SAT savollari

SAT-style question 80 s

The graph of x² + y² − 4x − 10y + 20 = 0 in the xy-plane is a circle. What is the length of the radius?

Yechimni koʻrish

Javob: A) 3

(x² − 4x) + (y² − 10y) = −20.

−4 ning yarmi −2 → 4; −10 ning yarmi −5 → 25.

(x − 2)² + (y − 5)² = −20 + 4 + 25 = 9. Radius = √9 = 3.

Tuzoq javob 9 Toʻldirish toʻgʻri bajarilgan, lekin oxirgi qadam unutilgan: 9 — bu r², radius esa uning ildizi. SAT bu tuzoqni deyarli har safar qoʻyadi.

SAT-style question 75 s

In the xy-plane, the graph of x² + y² − 8x + 6y = 0 is a circle. What are the coordinates of its center?

(4, −3)
(−4, 3)
(8, −6)
(−8, 6)

Yechimni koʻrish

Javob: A) (4, −3)

−8 ning yarmi −4 → 16; 6 ning yarmi 3 → 9.

(x − 4)² + (y + 3)² = 0 + 16 + 9 = 25. Markaz (4, −3), radius 5.

Tuzoq javob (8, −6) Koeffitsiyentlarning yarmi emas, oʻzi olingan. Toʻldirishda har doim yarmi qavsga tushadi.

Desmos — bu savolda deyarli aldov darajasida foydali

Yoyilgan tenglamani Desmosga x^2+y^2-4x-10y+20=0 deb toʻgʻridan-toʻgʻri kiriting: u aylanani chizadi. Markazni koʻz bilan oʻqiysiz, radiusni esa markazdan chetgacha sanaysiz. Toʻldirish umuman bajarilmaydi.

Lekin usulni baribir biling: savol «in terms of a» koʻrinishida, harflar bilan berilsa, Desmos chizolmaydi.

x² − 6x + 9 = (x − 9)²

(x − 3)²

Qavsga koeffitsiyentning yarmi tushadi.

(x − 2)² + (y − 5)² = 9 → radius 9

radius 3

Oʻng tomon r²; oxirgi qadam — ildiz olish.

Oʻzbekcha — Blok D yakuni Geometriya bloki shu bilan tugadi. Undan uchta narsa qoladi: formula varagʻi (unda nima borligini bilish yarim ish), SOH-CAH-TOA va aylana tenglamasi — varaqda yoʻq, lekin har testda uchraydigan ikki formula. Qolgani chizmani diqqat bilan oʻqishga borib taqaladi.