SAT-77: Radians vs. Degrees and Arc Length
Radian — burchakni oʻlchashning ikkinchi usuli, va yoy uzunligi aylananing shunchaki bir ulushi.
SAT-77: Radians vs. Degrees and Arc Length
Bu darsdan boshlab test aylanaga oʻtadi. Va birinchi qiyinchilik matematik emas, tildagi: SAT burchakni ikki xil birlikda beradi — degrees va radians. Ikkalasi ham bitta narsani oʻlchaydi, xuddi metr va fut kabi.
VARAQDA BOR: «The number of degrees of arc in a circle is 360» va «The number of radians of arc in a circle is 2π». Yaʼni almashtirish uchun kerak boʻlgan yagona fakt varaqda turibdi.
VARAQDA YOʻQ: yoy uzunligi formulasi. Uni oʻzingiz quryapsiz — pastdagi ulush gʻoyasi bilan.
Bu darsdan keyin siz
- darajani radianga va aksincha oʻgirasiz;
- eng koʻp uchraydigan oltita burchakni tanib olasiz;
- yoy uzunligini ulush sifatida topasiz;
- radianda esa uni rθ bilan bir qadamda olasiz.
Bitta koʻprik
Toʻliq aylana 360 daraja va 2π radian. Ikkalasini ikkiga boʻlsak, yarim aylana: 180° = π radian. Butun mavzu shu bitta tenglikdan chiqadi.
Oltita burchak — bularni tanib olish kifoya
| Degrees | Radians | Aylananing ulushi |
|---|---|---|
| 30° | π/6 | 1/12 |
| 45° | π/4 | 1/8 |
| 60° | π/3 | 1/6 |
| 90° | π/2 | 1/4 |
| 180° | π | 1/2 |
| 360° | 2π | 1 |
Yoy uzunligi
Yoy (arc) — aylana chizigʻining bir boʻlagi. Markaziy burchak aylananing qanchasini egallasa, yoy ham aylana uzunligining shunchasini egallaydi. Boshqa hech narsa yoʻq.
Agar burchak radianda berilgan boʻlsa, yoʻl yanada qisqaradi: yoy uzunligi = r × θ. Bu alohida formula emas — bu oʻsha ulushning soddalashgani, chunki radian ulushni oʻzida olib yuradi.
Ikki yoʻl bir xil javob beradimi
r = 12, θ = π/3 (yaʼni 60°). rθ = 12 × π/3 = 4π ✓ — yuqoridagi javobning aynan oʻzi.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- central anglemarkaziy burchak
- arc lengthyoy uzunligi
- minor arc ABqisqa yoy (burchak ichidagi)
- in radiansradianda
- subtendstortib turadi (burchak yoyni)
- in terms of ππ ni saqlagan holda
SAT savollari
SAT-style question 40 s
An angle measures 135°. What is its measure in radians?
- 3π/4
- 4π/3
- 2π/3
- 3π/2
Yechimni koʻrish
Javob: A) 3π/4
135 × π/180. 135/180 ni 45 ga qisqartiring: 3/4.
Nazorat: 135° toʻgʻri burchakdan kattaroq, lekin 180° dan kichik — demak javob π/2 va π orasida. 3π/4 aynan shunday.
SAT-style question 55 s
In a circle with radius 9, a central angle measures 2π/3 radians. What is the length of the arc it subtends?
- 6π
- 3π
- 12π
- 18π
Yechimni koʻrish
Javob: A) 6π
Burchak radianda, demak s = rθ = 9 × 2π/3 = 6π.
Ulush bilan tekshirish: 2π/3 — bu 120°, yaʼni uchdan bir. Aylana uzunligi 18π; uning uchdan biri 6π ✓
Radianni tekshirish uchun eng tez yoʻl: Desmosga 135*pi/180
deb yozing — u 2.356 beradi. Soʻng javoblarni ham shunday hisoblang.
Lekin ehtiyot boʻling: Desmos burchaklarni sukut boʻyicha radianda
oladi, shuning uchun sin(30) — 30 daraja emas, 30 radian.
yoy = 12 × 60 = 720
yoy = 12 × π/3 = 4π
rθ formulasi burchakni radianda talab qiladi.
90° = π radian
90° = π/2
π — bu yarim aylana, 180°. Chorak aylana π/2.
Qisqa yoy va uzun yoy
Ikki nuqta aylanani ikkiga boʻladi: minor arc (qisqasi, burchak ichidagi) va major arc (uzuni, qolgani). SAT deyarli har doim qisqasini soʻraydi, lekin «major» soʻzini koʻrsangiz burchakni 360 dan ayirishingiz kerak.
Nazorat
Ikkala yoy qoʻshilib butun aylanani berishi kerak: 4π + 6π = 10π ✓ Bu tekshiruvni har safar bajaring — u bir soniya oladi va yoʻnalish xatosini darrov koʻrsatadi.
Mashq
1 Convert 45° to radians.
Javobni koʻrish
45/180 = 1/4, demak π/4.
2 Convert 5π/6 radians to degrees.
Javobni koʻrish
(5/6) × 180 = 150°.
3 A circle has radius 10. Find the arc length for a 36° central angle.
Javobni koʻrish
36/360 = 1/10; aylana 20π; yoy = 2π.
4 A circle has radius 4 and a central angle of π/2. Find the arc length.
Javobni koʻrish
rθ = 4 × π/2 = 2π.
5 An arc of length 5π lies on a circle of radius 15. Find the central angle in radians.
Javobni koʻrish
θ = s ÷ r = 5π ÷ 15 = π/3.
Key words
- radianradian
- degreedaraja
- central anglemarkaziy burchak
- arcyoy
- arc lengthyoy uzunligi
- circumferenceaylana uzunligi
- subtendtortib turmoq
- convertoʻgirmoq
- in terms of ππ orqali
- fraction of the circleaylananing ulushi
Esda qoladigan uch narsa
- 180° = π — butun mavzuning yagona koʻprigi.
- Yoy — aylana uzunligining oʻsha ulushi.
- s = rθ faqat radianda; birlikka har doim qarang.