Mathematics

SAT-79: Circle Equations in the Coordinate Plane

Aylana tenglamasi markazni va radiusni ochiq aytib turadi — faqat ishoralarni toʻgʻri oʻqish kerak.

Iyun 26, 2026

21 4 daqiqa 0

SAT-79: Circle Equations in the Coordinate Plane

SAT-13 da toʻgʻri chiziq tenglamasi ogʻish va kesishmani ochiq aytib turgan edi. Aylana tenglamasi ham xuddi shunday ishlaydi: markaz va radius tenglamaning ichida yozib qoʻyilgan. Butun qiyinchilik — ularni notoʻgʻri oʻqib olmaslikda.

Formula varagʻi

VARAQDA YOʻQ: aylana tenglamasi. Buni yodlash kerak — Blok D da SOH-CAH-TOA dan keyingi ikkinchi majburiy formula.

Bu darsdan keyin siz

tenglamadan markaz va radiusni bir qarashda olasiz;
markaz va radiusdan tenglama yozasiz;
minus/plyus tuzogʻiga tushmaysiz;
nuqta aylana ichidami yoki tashqarisidami — aniqlaysiz.

The circle (x − h)² + (y − k)² = r²

Markaz — (h, k), radius — r. Tenglama aslida Pifagor teoremasi: markazdan har qanday nuqtagacha boʻlgan masofa doim bir xil, yaʼni r.

Chizmadagi aylananing tenglamasi: (x − 2)² + (y − 1)² = 9.

Ehtiyot boʻling — ikkita tuzoq

Formulada minus turadi. Demak (y + 2)² aslida (y − (−2))², yaʼni k = −2, +2 emas.
Oʻng tomonda r² turadi. 25 yozilgan boʻlsa, radius 25 emas, 5.

(x − 3)² + (y + 2)² = 25 Berilgan

(y + 2)² = (y − (−2))² Formulaga moslash uchun qayta yozamiz

Markaz (3, −2), radius 5 Ishoralar teskari, radius — ildiz

Oʻzbekcha Qoidani soʻz bilan aytish osonroq: qavs ichidagi sonning ishorasini agʻdaring. (x − 3) → 3; (y + 2) → −2. Bu xuddi SAT-33 dagi parabola tepasi bilan bir xil qoida — va SAT uni ikkala mavzuda ham bir xil sinaydi.

Teskari yoʻnalish

Markaz va radius berilib, tenglama soʻralishi ham xuddi shunchalik tez-tez uchraydi. Ishoralar yana agʻdariladi.

Markaz (−4, 6), radius 3

(x + 4)² + (y − 6)² = 9. Nazorat: h = −4 boʻlgani uchun x − (−4) = x + 4 ✓, va oʻng tomon 3² = 9 ✓

Nuqta qayerda

Nuqtaning koordinatalarini tenglamaning chap tomoniga qoʻying va natijani r² bilan solishtiring: kichik boʻlsa ichida, teng boʻlsa ustida, katta boʻlsa tashqarisida.

Oʻqituvchi maslahati Bu savolda ildiz olish shart emas. 9 ni 25 bilan solishtirish, 3 ni 5 bilan solishtirish bilan bir xil javob beradi — kvadratga koʻtarish tartibni buzmaydi.

Exam English — savol qanday soʻraydi

in the xy-planexy tekisligida
the equation of a circleaylana tenglamasi
the center of the circleaylananing markazi
lies on the circleaylana ustida yotadi
which of the following is an equation ofquyidagilardan qaysi biri … tenglamasi

SAT savollari

SAT-style question 40 s

In the xy-plane, the equation of a circle is (x − 3)² + (y + 2)² = 25. What is the center of the circle?

(3, −2)
(−3, 2)
(3, 2)
(−3, −2)

Yechimni koʻrish

Javob: A) (3, −2)

Qavslardagi ishoralarni agʻdaring: −3 → 3, +2 → −2.

Tuzoq javob (−3, 2) Ishoralarni umuman agʻdarmagan — qavsda nima yozilgan boʻlsa, oʻshani koʻchirgan. Bu eng koʻp uchraydigan xato.

SAT-style question 55 s

A circle in the xy-plane has center (−4, 6) and radius 3. Which of the following is an equation of the circle?

(x + 4)² + (y − 6)² = 9
(x − 4)² + (y + 6)² = 9
(x + 4)² + (y − 6)² = 3
(x − 4)² + (y + 6)² = 3

Yechimni koʻrish

Javob: A) (x + 4)² + (y − 6)² = 9

h = −4 → x − (−4) = x + 4. k = 6 → y − 6. Oʻng tomon 3² = 9.

Tuzoq javob (x + 4)² + (y − 6)² = 3 Ishoralar toʻgʻri, lekin oʻng tomonga radiusning oʻzi yozilgan. U yerda r² turishi kerak.

Desmos

Aylana tenglamasini Desmosga xuddi qanday berilgan boʻlsa, shundayligicha kiriting — u aylanani chizadi va markazni koʻz bilan koʻrasiz. Javob variantlarini ham kiritsangiz, notoʻgʻrilari boshqa joyda turadi. Bu savol turida Desmos deyarli hech qanday xato qoldirmaydi.

(x − 3)² + (y + 2)² = 25 → radius 25

radius 5

Oʻng tomonda r² turadi, r emas.

markaz (−4, 6) → (x − 4)²

(x + 4)²

x − h da h = −4, demak x − (−4) = x + 4.

Oʻzbekcha Nega tenglama shunday? Markaz (h, k) va aylanadagi nuqta (x, y) orasidagi masofani Pifagor bilan yozing: gorizontal farq (x − h), vertikal farq (y − k), gipotenuza r. Kvadratga koʻtarsangiz — aynan shu tenglama chiqadi.