Mathematics

SAT-33: The Quadratic Formula and the Discriminant

Ajratib boʻlmaydigan kvadrat tenglama ham yechiladi: formula har doim ishlaydi. Ildiz ostidagi ifoda — diskriminant — javobning shaklini oldindan aytadi.

powerty

Iyun 26, 2026

17 5 daqiqa 0

SAT-33: The Quadratic Formula and the Discriminant

SAT-31 va SAT-32 dagi usullar butun sonli koʻpaytuvchilar mavjud boʻlgandagina ishlaydi. Koʻp tenglamada ular yoʻq — masalan x² − 4x + 1 = 0 ni hech qanday butun son juftligi ajratmaydi. Shunday hollar uchun har doim ishlaydigan formula bor.

Bu darsdan keyin siz

formulani xotiradan yozasiz (u reference sheetda YOʻQ);
a, b va c ni ishorasi bilan toʻgʻri qoʻyasiz;
ildiz ostidagi ifodani — diskriminantni — alohida hisoblaysiz;
javobni soddalashtirasiz (SAT-25) va tekshirasiz.

The quadratic formula x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

Ehtiyot boʻling Bu formula ekrandagi reference sheet da yoʻq. U yerda faqat yuza, hajm, aylana va maxsus uchburchaklar bor. Formulani yod olish — SAT-5 dagi qiyalik formulasi kabi majburiy.

Uch qadam, har safar

2x² + 5x − 3 = 0 a = 2, b = 5, c = −3 — ishorasi bilan

b² − 4ac = 25 − 4(2)(−3) = 25 + 24 = 49 Diskriminantni alohida hisobladik; −4ac musbat chiqdi

x = (−5 ± 7) ÷ 4 √49 = 7

x = 1/2 yoki x = −3 (−5 + 7) ÷ 4 = 1/2 va (−5 − 7) ÷ 4 = −3

Tekshiramiz

x = 1/2: 2(0.25) + 2.5 − 3 = 0 ✓. x = −3: 18 − 15 − 3 = 0 ✓

Oʻzbekcha c manfiy boʻlsa −4ac musbat boʻladi va diskriminantni kattalashtiradi. Bu yerda ikki minus koʻpaytmasi plyus bergani uchun 25 + 24 chiqdi. Shu bitta ishorani eʼtiborsiz qoldirish — formuladagi eng koʻp uchraydigan xato.

Ildiz butun chiqmaganda

x² − 4x + 1 = 0 a = 1, b = −4, c = 1

16 − 4 = 12 Diskriminant toʻliq kvadrat emas — demak ajratilmaydi

x = (4 ± √12) ÷ 2 = (4 ± 2√3) ÷ 2 √12 = 2√3 (SAT-25)

x = 2 ± √3 Hamma hadni 2 ga qisqartirdik

Eʼtibor bering: qisqartirishda uchala qismni boʻlish kerak — 4 ni ham, 2√3 ni ham. Faqat bittasini boʻlish javobni buzadi.

Oʻqituvchi maslahati Diskriminantni har doim alohida hisoblang va yozib qoʻying. Shunda ishora xatosi bitta qatorda qoladi, va u toʻliq kvadratmi yoʻqmi degan savolga ham darrov javob berasiz.

Exam English — savol qanday soʻraydi

the solutions to the equationtenglamaning yechimlari
in the form a ± √ba ± √b koʻrinishida
the discriminantdiskriminant: b² − 4ac
where a, b and c are constantsa, b va c — sonlar
the positive solutionmusbat yechim — ikkitasidan bittasi

SAT savollari

SAT-style question 75 s

What are the solutions to 2x² + 5x − 3 = 0?

x = −3 and x = 1/2
x = 3 and x = −1/2
x = −3 and x = 2
x = −5 and x = 3

Yechimni koʻrish

Javob: A) x = −3 va x = 1/2

Diskriminant: 25 + 24 = 49, demak x = (−5 ± 7) ÷ 4.

Tekshiruv: x = −3 da 18 − 15 − 3 = 0 ✓. Javoblarni tenglamaga qoʻyish bu savolda formuladan ham tezroq.

Tuzoq javob x = 3 and x = −1/2 Ikkala ildizning ishorasi almashtirilgan. Bitta son qoʻyib koʻring: x = 3 da 18 + 15 − 3 = 30, nol emas.

SAT-style question 90 s

What are the solutions to x² − 6x + 4 = 0?

x = 3 ± √5
x = 6 ± √5
x = 3 ± √20
x = −3 ± √5

Yechimni koʻrish

Javob: A) x = 3 ± √5

Diskriminant: 36 − 16 = 20. x = (6 ± √20) ÷ 2 = (6 ± 2√5) ÷ 2 = 3 ± √5.

3 ± √20 — faqat 6 ni 2 ga boʻlgan javob: qisqartirishda uchala qism boʻlinadi.

Tuzoq javob x = 3 ± √20 Faqat 6 ni 2 ga boʻlgan javob — ildiz qismi qisqartirilmagan. Boʻlish kasrning butun suratiga qoʻllanadi.

Test-day taktikasi

Javoblar son boʻlsa, formulani umuman ishlatmasangiz ham boʻladi:

Javobdagi bitta sonni tenglamaga qoʻying.
Nol chiqsa — u ildiz; chiqmasa — variant oʻchadi.
Ikkala soni ham nol beradigan variant — javob.

Javoblar ildizli boʻlsa, kalkulyatorda taxminiy qiymatini hisoblang: 3 + √5 ≈ 5.24, va uni tenglamaga qoʻying.

2x² + 5x − 3 = 0 uchun b² − 4ac = 25 − 24 = 1

25 + 24 = 49

c = −3 manfiy, demak −4ac = −4(2)(−3) = +24. Ikki minus plyus beradi.

(4 ± 2√3) ÷ 2 = 2 ± 2√3

2 ± √3

Boʻlish ikkala hadga qoʻllanadi: 4 ÷ 2 = 2 va 2√3 ÷ 2 = √3.

Oʻzbekcha Formulani yozishdan oldin tenglamani standart koʻrinishga keltiring: x² + 5x = 3 emas, x² + 5x − 3 = 0. Aks holda c ning qiymati notoʻgʻri olinadi.

Oʻzbekcha Formula har doim ishlaydi — ajratiladigan tenglamalarda ham. Vaqtingiz boʻlmasa yoki juftlikni topa olmasangiz, ikkilanmasdan formulaga oʻting: u bir oz sekinroq, lekin hech qachon adashtirmaydi.

Mashq

1 Solve using the formula: x² + 3x + 2 = 0

Javobni koʻrish

x = −1 yoki −2 — diskriminant 9 − 8 = 1, demak x = (−3 ± 1) ÷ 2.

2 What is the discriminant of 3x² + 2x − 1 = 0?

Javobni koʻrish

16 — 4 − 4(3)(−1) = 4 + 12 = 16. Toʻliq kvadrat, demak tenglama ajratiladi.

3 Solve: 3x² + 2x − 1 = 0

Javobni koʻrish

x = 1/3 yoki −1 — x = (−2 ± 4) ÷ 6.

4 Solve: x² + 4x + 2 = 0

Javobni koʻrish

x = −2 ± √2 — diskriminant 16 − 8 = 8, va (−4 ± 2√2) ÷ 2.

5 Solve: x² − 2x − 1 = 0

Javobni koʻrish

x = 1 ± √2 — diskriminant 4 + 4 = 8, va (2 ± 2√2) ÷ 2.

Key words

quadratic formulakvadrat tenglama formulasi
discriminantdiskriminant (b² − 4ac)
standard formstandart koʻrinish (bir tomoni nol)
plus or minusplyus-minus (±)
simplify the radicalildizni soddalashtirish
substituteoʻrniga qoʻymoq
solutions / rootsyechimlar / ildizlar
perfect squaretoʻliq kvadrat
reference sheetformula varagʻi (bu formula unda YOʻQ)
exact formaniq koʻrinish (ildiz bilan)

Esda qoladigan uch narsa

Formulani yod oling — u formula varagʻida yoʻq — va tenglamani avval nolga keltiring.
Diskriminantni alohida hisoblang; c manfiy boʻlsa −4ac musbat boʻladi.
Qisqartirishda uchala qism boʻlinadi: (4 ± 2√3) ÷ 2 = 2 ± √3.

Rivojlanishni kuzatish uchun kiring

Foydali bo'ldimi? Yoqdi 0 Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring

Barcha darsliklar

powerty

Muallif · Staff

Iyun 26, 2026 Sen. 4, 2026

Ko'rishlar

Yoqishlar

O'qildi