SAT-34: Determining Number and Type of Roots using the Discriminant
b² − 4ac ni hisoblab, tenglamani yechmasdan turib ildizlar sonini ayting: musbat — ikkita, nol — bitta, manfiy — haqiqiy ildiz yoʻq.
SAT-34: Determining Number and Type of Roots using the Discriminant
SAT-33 da diskriminantni formulaning bir qismi sifatida hisobladik. Endi u mustaqil qurol boʻladi: tenglamani yechmasdan turib nechta ildizi borligini aytish mumkin. SAT bu savolni juda koʻp beradi, chunki javob bir necha soniyada topiladi.
Bu darsdan keyin siz
- diskriminantning uchta holatini ajratasiz;
- uni parabolaning grafigi bilan bogʻlaysiz;
- toʻliq kvadrat ekanini koʻrib, ajratiladimi-yoʻqmi deb aytasiz;
- «exactly one solution» turidagi k ni topish savollarini yechasiz.
Uchta holat — hammasi shu
| Diskriminant | Ildizlar | Grafik (parabola) | Misol |
|---|---|---|---|
| D > 0 | ikkita haqiqiy | x oʻqini ikki nuqtada kesadi | x2 − 5x + 6 |
| D = 0 | bitta (takrorlanuvchi) | x oʻqiga urinadi | x2 − 6x + 9 |
| D < 0 | haqiqiy ildiz yoʻq | x oʻqini kesmaydi | x2 + 4x + 5 |
Uchta misol
Toʻliq kvadrat — qoʻshimcha maʼlumot
Diskriminant faqat nechta emas, qanday ildiz ekanini ham aytadi:
- D toʻliq kvadrat (25, 49, 4…) → ildizlar kasr yoki butun son, va tenglama butun sonlar bilan ajratiladi;
- D musbat, lekin toʻliq kvadrat emas (12, 20, 8…) → ildizlarda √ qoladi, demak ajratishga urinmang — formulani ishlating.
k ni topish — SAT'ning sevimli savoli
«exactly one solution» iborasi bevosita D = 0 degani. Bu savolni koʻrgan zahoti diskriminantni yozing va nolga tenglashtiring.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- how many real solutionsnechta haqiqiy yechim
- exactly one solutionaynan bitta yechim → D = 0
- no real solutionshaqiqiy yechim yoʻq → D < 0
- two distinct real solutionsikkita turli haqiqiy yechim → D > 0
- the positive value of kk ning musbat qiymati
- x-intercepts of the graphgrafikning x oʻqi bilan kesishishi
SAT savollari
SAT-style question 45 s
How many real solutions does 3x2 − 2x + 5 = 0 have?
- Zero
- One
- Two
- Infinitely many
Yechimni koʻrish
Javob: A) Zero
D = (−2)2 − 4(3)(5) = 4 − 60 = −56 < 0 → haqiqiy ildiz yoʻq.
Grafik tilida: bu parabola x oʻqidan butunlay yuqorida turadi.
SAT-style question 75 s
In the equation x2 + kx + 25 = 0, k is a constant. If the equation has exactly one real solution, what is the positive value of k?
- 5
- 10
- 25
- 50
Yechimni koʻrish
Javob: B) 10
«Exactly one solution» → D = 0 → k2 − 4(1)(25) = 0 → k2 = 100 → k = ±10.
Tekshiruv: x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 — toʻliq kvadrat, bitta ildiz x = −5 ✓ (SAT-30)
Uchta iborani uchta amalga bogʻlab qoʻying — savolni oʻqishning oʻzi javobni boshlaydi:
- «exactly one» / «only one» → D = 0 deb yozing;
- «no real solutions» → D < 0 tengsizligini yozing;
- «two distinct» / «two x-intercepts» → D > 0.
Ildizlarni topishga umuman hojat yoʻq — bu savollar yechim emas, son soʻraydi.
3x2 − 2x + 5 → D = −22 − 60 = −64
D = (−2)2 − 60 = 4 − 60 = −56
b ni kvadratga koʻtarishda qavs qoʻying: (−2)² = +4. (Bu savolda javob oʻzgarmadi, lekin koʻp savolda oʻzgaradi.)
D = 0 → yechim yoʻq
D = 0 → aynan bitta yechim
Yechim yoʻq boʻlishi uchun D manfiy boʻlishi kerak. D = 0 da parabola x oʻqiga urinadi — bir marta tegadi.
Mashq
1 How many real solutions does x2 − 5x + 7 = 0 have?
Javobni koʻrish
Bittasi ham yoʻq — D = 25 − 28 = −3 < 0.
2 How many real solutions does 4x2 − 12x + 9 = 0 have?
Javobni koʻrish
Bitta — D = 144 − 144 = 0. Bu (2x − 3)2.
3 Is x2 + 2x − 6 = 0 factorable with integers?
Javobni koʻrish
Yoʻq — D = 4 + 24 = 28, toʻliq kvadrat emas. Formulani ishlating.
4 For what value of k does x2 + 6x + k = 0 have exactly one solution?
Javobni koʻrish
k = 9 — D = 36 − 4k = 0. Natija (x + 3)2.
5 The graph of a quadratic does not cross the x-axis. What can you say about its discriminant?
Javobni koʻrish
U manfiy (D < 0) — x oʻqi bilan kesishish nuqtasi yoʻq.
Key words
- discriminantdiskriminant
- real solutionshaqiqiy yechimlar
- distinctturli, har xil
- repeated roottakrorlanuvchi ildiz
- x-interceptx oʻqi bilan kesishish nuqtasi
- tangent to the x-axisx oʻqiga urinuvchi
- perfect squaretoʻliq kvadrat
- rational rootsratsional ildizlar
- constant kk oʻzgarmas soni
- factorableajratiladigan
Esda qoladigan uch narsa
- D > 0 ikkita, D = 0 bitta, D < 0 hech qanday haqiqiy ildiz yoʻq.
- «exactly one solution» degan ibora — bu D = 0 ning inglizchasi.
- D toʻliq kvadrat boʻlsa tenglama ajratiladi; boʻlmasa formulani ishlating.