SAT-35: Vertex Form of a Quadratic
y = a(x − h)² + k koʻrinishi uchni (h, k) toʻgʻridan-toʻgʻri koʻrsatadi. Standart koʻrinishdan uchni x = −b ÷ (2a) formulasi bilan toping.
SAT-35: Vertex Form of a Quadratic
Bir xil parabolani uch xil yozish mumkin, va har bir koʻrinish boshqa narsani darrov koʻrsatadi. Ajratilgan koʻrinish nollarni beradi (SAT-31), standart koʻrinish y oʻqi bilan kesishishni beradi, uchi shakli esa parabolaning eng yuqori yoki eng past nuqtasini beradi.
Bu darsdan keyin siz
- y = a(x − h)² + k dan uchni bir qarashda oʻqiysiz;
- h ning ishorasi bilan adashmaysiz;
- x = −b ÷ (2a) bilan standart koʻrinishdan uchni topasiz;
- a ning ishorasidan maksimummi yoki minimummi ekanini aytasiz.
Ishora — bu darsdagi asosiy tuzoq
Formulada minus yozilgan: (x − h). Shuning uchun qavs ichidagi son bilan uchning koordinatasi qarama-qarshi ishorada boʻladi.
| Tenglama | h | k | Uchi |
|---|---|---|---|
| y = (x − 3)2 + 2 | 3 | 2 | (3, 2) |
| y = (x + 4)2 − 1 | −4 | −1 | (−4, −1) |
| y = 2(x + 1)2 + 5 | −1 | 5 | (−1, 5) |
a nima qiladi
- a > 0 → parabola yuqoriga ochiladi, uchi eng past nuqta → minimum;
- a < 0 → pastga ochiladi, uchi eng yuqori nuqta → maximum;
- |a| katta boʻlsa parabola torroq, kichik boʻlsa kengroq boʻladi.
Demak y = −2(x − 1)2 + 8 ning maksimal qiymati 8, va u x = 1 da erishiladi. Savol «maximum value» deb soʻrasa javob 8; «where does it occur» deb soʻrasa javob 1. Ikkalasi boshqa-boshqa son.
Standart koʻrinishdan uchni topish
Exam English — savol qanday soʻraydi
- the vertex of the parabolaparabolaning uchi
- the minimum value of the functionfunksiyaning eng kichik qiymati (k)
- the maximum valueeng katta qiymat
- the axis of symmetrysimmetriya oʻqi (x = h)
- displays the vertex as constantsuchni son sifatida koʻrsatadi
- at what value of x does it occurx ning qaysi qiymatida sodir boʻladi
SAT savollari
SAT-style question 40 s
What is the vertex of the parabola y = (x + 4)2 − 1?
- (4, −1)
- (−4, −1)
- (−4, 1)
- (4, 1)
Yechimni koʻrish
Javob: B) (−4, −1)
(x + 4)2 = (x − (−4))2, demak h = −4. k = −1 qavsdan tashqarida turibdi va oʻzgarmaydi.
SAT-style question 70 s
The function f is defined by f(x) = x2 − 8x + 11. What is the minimum value of f?
- −5
- 4
- 11
- −4
Yechimni koʻrish
Javob: A) −5
x = −(−8) ÷ 2 = 4, keyin f(4) = 16 − 32 + 11 = −5.
Yaʼni f(x) = (x − 4)2 − 5, uchi (4, −5) ✓
«Which equation displays the vertex as constants?» turidagi savolda hisoblamang — javoblarni oching:
- Har bir variantdagi qavsni ochib, asl tenglama bilan solishtiring.
- Yoki bitta son qoʻying: x = 0 da ikkala tomon bir xil qiymat berishi kerak.
- Uch soʻralganda esa x = −b ÷ (2a) — ikki soniyalik ish.
y = (x + 4)2 − 1 → uchi (4, −1)
Uchi (−4, −1)
Formulada (x − h) turadi, demak qavsdagi +4 h = −4 degani.
Minimum value of x2 − 8x + 11 is 4
Minimum qiymat −5, va u x = 4 da erishiladi
«Value» — funksiyaning qiymati, yaʼni y. Topilgan x ni tenglamaga qaytarib qoʻying.
Mashq
1 What is the vertex of y = (x − 5)2 − 3?
Javobni koʻrish
(5, −3).
2 What is the vertex of y = (x + 2)2 + 7?
Javobni koʻrish
(−2, 7) — qavsdagi ishora almashadi, tashqaridagisi yoʻq.
3 Find the vertex of y = x2 + 4x + 1.
Javobni koʻrish
(−2, −3) — x = −4 ÷ 2 = −2, keyin y = 4 − 8 + 1 = −3.
4 What is the minimum value of y = 2(x − 3)2 + 5?
Javobni koʻrish
5 — kvadrat hech qachon manfiy boʻlmaydi, demak eng kichik qiymat x = 3 da.
5 A ball's height is h = −5(t − 2)2 + 20. What is its greatest height, and when does it happen?
Javobni koʻrish
20 metr, 2 soniyada — a manfiy, demak uchi maksimum.
Key words
- vertexuch (parabolaning burilish nuqtasi)
- vertex formuchi shakli
- parabolaparabola
- axis of symmetrysimmetriya oʻqi
- minimum / maximum valueeng kichik / eng katta qiymat
- opens upwardyuqoriga ochiladi
- displays as constantsson sifatida koʻrsatadi
- equivalent formsteng kuchli koʻrinishlar
- occurs at… da sodir boʻladi
- coordinateskoordinatalar
Esda qoladigan uch narsa
- y = a(x − h)2 + k da uch (h, k), va h ning ishorasi almashadi.
- Standart koʻrinishdan: x = −b ÷ (2a), keyin uni qaytarib qoʻyib y ni toping.
- a > 0 → minimum, a < 0 → maksimum; «value» y ni, «occurs at» x ni soʻraydi.