Mathematics

SAT-36: Finding Maximum and Minimum Values of a Quadratic

«Eng koʻp daromad», «eng katta maydon», «eng baland nuqta» — hammasi bitta narsani soʻraydi: parabolaning uchini. Qiyin qismi tenglamani matndan tuzish.

powerty

Iyun 26, 2026

24 6 daqiqa 0

SAT-36: Finding Maximum and Minimum Values of a Quadratic

SAT-35 da uchni tenglamadan topdik. Endi tenglama berilmaydi — uni matndan oʻzingiz tuzasiz. Bu SAT'ning eng qadrli koʻnikmasi: hisoblash oson, jumlani tenglamaga aylantirish qiyin.

Bu darsdan keyin siz

matnli masaladan kvadrat model tuzasiz;
uchni topib, savol x ni yoki y ni soʻrayotganini ajratasiz;
daromad, maydon va balandlik masalalarini bir xil yoʻl bilan yechasiz;
javobning maʼnosini kontekstda tekshirasiz.

Every max/min problem model tuzing → x = −b ÷ (2a) → savol nimani soʻradi?

1-tur — daromad (revenue)

Doʻkon choynakni 20 dollardan sotadi va haftasiga 300 dona ketadi. Narxni har 1 dollarga oshirsa, 10 tadan kam sotiladi. Eng koʻp daromad qaysi narxda?

narx = 20 + x, soni = 300 − 10x x — necha dollarga oshirilgani

R = (20 + x)(300 − 10x) = 6000 + 100x − 10x² Daromad = narx × soni (SAT-28)

x = −100 ÷ (−20) = 5 Uchning x koordinatasi

Narx 25 dollar, soni 250, daromad 6250 x — oshirish, narx esa 20 + 5

Ehtiyot boʻling x = 5 javob emas. x — oshirish miqdori; savol narxni soʻrasa javob 25, daromadni soʻrasa 6250. SAT bu uch sonni bir savolda aralashtiradi.

2-tur — maydon (area), devor bilan

Fermerda 40 metr toʻr bor. U devorga tegib turgan toʻrtburchak qafas qurmoqchi, demak toʻr faqat uch tomonga kerak. Eng katta maydon qancha?

2w + L = 40 → L = 40 − 2w Devor toʻrtinchi tomon — unga toʻr ketmaydi

A = w(40 − 2w) = 40w − 2w² Maydon = eni × uzunligi

w = −40 ÷ (−4) = 10 Uch

w = 10, L = 20, A = 200 m² Tekshiruv: 10 + 10 + 20 = 40 metr toʻr ✓

Oʻzbekcha Devorli masalada javob kvadrat emas: 10 × 20. Toʻrt tomon toʻrlanganda eng katta maydonni kvadrat beradi, uch tomon toʻrlanganda esa uzunlik enidan ikki barobar katta boʻladi. Shuning uchun masalani oʻqiganda «necha tomon» degan savolni birinchi bering.

3-tur — balandlik (height)

h = −5t² + 30t + 10 boʻlsa, uch t = −30 ÷ (−10) = 3 soniyada, va h = −45 + 90 + 10 = 55 metr. Yana oʻsha ikki savol: qachon — 3, qancha baland — 55.

Oʻqituvchi maslahati Modelni tuzganingizdan keyin bitta oson qiymat qoʻyib tekshiring. Yuqoridagi daromadda x = 0: narx 20, soni 300, daromad 6000 — matndagi boshlangʻich holat ✓ Model shu tekshiruvdan oʻtmasa, hisoblashni boshlamang.

Exam English — savol qanday soʻraydi

maximum revenueeng koʻp daromad — y qiymati
the price that maximizes revenuedaromadni maksimal qiladigan narx — x
the greatest possible areaeng katta mumkin boʻlgan maydon
reaches its maximum height after … seconds… soniyadan keyin eng baland nuqtaga chiqadi
for what value of xx ning qaysi qiymatida

SAT savollari

SAT-style question 90 s

A shop sells a teapot for 20 dollars and sells 300 of them each week. For every 1 dollar increase in price, it sells 10 fewer teapots. What price gives the greatest weekly revenue?

5 dollars
25 dollars
250 dollars
6,250 dollars

Yechimni koʻrish

Javob: B) 25 dollars

R = (20 + x)(300 − 10x) = 6000 + 100x − 10x², uch x = 5 da. Narx = 20 + 5 = 25.

Tekshiruv: 25 × 250 = 6,250, va 24 × 260 = 6,240, 26 × 240 = 6,240 — ikkala tomonda ham kamroq ✓

Tuzoq javob 5 dollars Bu x — oshirish miqdori, narx emas. Har doim x nimani anglatishini yozib qoʻying va oxirida unga qayting.

SAT-style question 90 s

A farmer has 40 metres of fencing to build a rectangular pen against a long wall. The wall forms one side, so fencing is needed for only three sides. What is the greatest possible area of the pen?

100 square metres
200 square metres
400 square metres
160 square metres

Yechimni koʻrish

Javob: B) 200 square metres

A = w(40 − 2w), uch w = 10 da → 10 × 20 = 200.

100 — 10 × 10 kvadrat deb hisoblangan javob; u toʻrt tomon toʻrlanganda toʻgʻri boʻlardi, bu yerda emas.

Tuzoq javob 100 square metres «Eng katta maydon — kvadrat» qoidasi yodda qolgan, lekin u faqat toʻrtala tomon ham toʻrlanganda ishlaydi. Devor qoidani buzadi.

Test-day taktikasi

Har bir max/min masalasida uchta qatorni yozing:

x = … (x nimani anglatadi — dollarmi, metrmi, soniyami);
model (daromad = narx × soni, maydon = eni × uzunligi);
savol x ni soʻradimi yoki y ni.

Uchinchi qator ballning yarmini saqlaydi: toʻgʻri hisoblab, notoʻgʻri sonni belgilash bu yerdagi eng koʻp uchraydigan yoʻqotish.

Uch x = 5 da → javob 5 dollar

Narx = 20 + 5 = 25 dollar

x — oʻzgarish, narxning oʻzi emas. Modelni tuzganda buni yozib qoʻying.

40 metr toʻr → tomoni 10 m boʻlgan kvadrat

10 m × 20 m, maydoni 200 m²

Devor tufayli toʻr uch tomonga ketadi: 2w + L = 40.

Oʻzbekcha Kvadrat model har doim ikkita son beradi — uchning x va y koordinatalari — va matnli masalada ular butunlay boshqa narsalar: biri narx, ikkinchisi pul; biri soniya, ikkinchisi metr. Javobni belgilashdan oldin oʻlchov birligiga qarang.

Oʻzbekcha a manfiy boʻlsa maksimum bor, minimum yoʻq — va aksincha. Daromad va balandlik masalalarida a deyarli har doim manfiy (narx juda oshsa daromad tushadi, jism qaytib tushadi), maydon masalalarida ham shunday.

Mashq

1 A rectangle has a perimeter of 40 metres. What is its greatest possible area?

Javobni koʻrish

100 m² — bu yerda toʻrtala tomon ham hisobga olingan, demak javob 10 × 10 kvadrat.

2 A ball's height is h = −5t² + 20t + 15 metres. What is its greatest height?

Javobni koʻrish

35 metr — t = 2 da: −20 + 40 + 15 = 35.

3 For the same ball, after how many seconds does it reach that height?

Javobni koʻrish

2 soniya — t = −20 ÷ (−10) = 2. Bir masala, ikki boshqa javob.

4 Two numbers add to 12. What is their greatest possible product?

Javobni koʻrish

36 — P = x(12 − x), uch x = 6 da, demak 6 × 6.

5 A club charges 10 dollars and has 60 members. Each 1 dollar rise loses 4 members. What fee gives the greatest income?

Javobni koʻrish

12.50 dollar — I = (10 + x)(60 − 4x), uch x = 2.5 da.

Key words

revenuedaromad (narx × soni)
maximizeeng katta qiymatga yetkazmoq
greatest possibleeng katta mumkin boʻlgan
fencingtoʻr, panjara
pen / enclosureqafas, oʻralgan joy
dimensionsoʻlchamlar
model the situationvaziyatni tenglama bilan ifodalash
incometushum, kirim
per unit increasehar bir birlik oshganda
reaches its maximumeng yuqori nuqtasiga chiqadi

Esda qoladigan uch narsa

Avval x nimani anglatishini yozing, keyin modelni tuzing.
Uch — x = −b ÷ (2a); qiymat uchun uni modelga qaytarib qoʻying.
Savol x ni soʻradimi (narx, vaqt) yoki y ni (daromad, balandlik) — javobni belgilashdan oldin shuni tekshiring.

Rivojlanishni kuzatish uchun kiring

Foydali bo'ldimi? Yoqdi 0 Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring

Barcha darsliklar

powerty

Muallif · Staff

Iyun 26, 2026 Sen. 4, 2026

Ko'rishlar

Yoqishlar

O'qildi