SAT-38: Systems of Non-Linear Equations (Linear–Quadratic)
Chiziqni parabolaga qoʻying: qolgani oddiy kvadrat tenglama. Necha marta kesishishini diskriminant aytadi.
SAT-38: Systems of Non-Linear Equations (Linear–Quadratic)
SAT-19 da ikkita chiziqning kesishishini topgan edik. Endi bittasi parabola. Usul aynan oʻsha — oʻrniga qoʻyish — faqat natija chiziqli emas, kvadrat tenglama boʻladi.
Bu darsdan keyin siz
- chiziqni parabolaga qoʻyib, bitta kvadrat tenglama hosil qilasiz;
- x ni topib, y ni ham topasiz — javob nuqta;
- kesishishlar sonini diskriminant bilan aytasiz;
- «tangent» soʻzini D = 0 deb oʻqiysiz.
Uch qadam
Ikkinchi misol
Nechta kesishish nuqtasi bor?
Bu savolga yechmasdan javob berish mumkin — hosil boʻlgan kvadrat tenglamaning diskriminanti yetadi (SAT-34):
| Diskriminant | Kesishish | Grafik |
|---|---|---|
| D > 0 | ikkita nuqta | chiziq parabolani kesib oʻtadi |
| D = 0 | bitta nuqta | chiziq parabolaga urinadi (tangent) |
| D < 0 | yoʻq | chiziq parabolaga tegmaydi |
Exam English — savol qanday soʻraydi
- the solution to the systemsistemaning yechimi — nuqta (x, y)
- how many points of intersectionnechta kesishish nuqtasi
- is tangent tourinadi → D = 0
- the graphs intersect atgrafiklar … nuqtada kesishadi
- what is the value of x + yx + y nechaga teng (yechimdan keyin)
SAT savollari
SAT-style question 80 s
If y = x2 and y = x + 2, which ordered pair is a solution to the system?
- (2, 4)
- (2, 2)
- (4, 2)
- (−1, −1)
Yechimni koʻrish
Javob: A) (2, 4)
x2 − x − 2 = 0 → x = 2 yoki −1. x = 2 da y = 4.
Tekshiruv: 4 = 22 ✓ va 4 = 2 + 2 ✓ — ikkala tenglamani ham qanoatlantirishi shart.
SAT-style question 70 s
How many points of intersection do the graphs of y = x2 + 1 and y = x − 1 have?
- Zero
- One
- Two
- Infinitely many
Yechimni koʻrish
Javob: A) Zero
x2 + 1 = x − 1 → x2 − x + 2 = 0, va D = 1 − 8 = −7.
Manfiy diskriminant — chiziq parabolaga umuman tegmaydi. Parabola y oʻqida 1 da, chiziq esa −1 da: chiziq juda past qolgan.
Javoblar nuqta boʻlsa, yechmang — qoʻying:
- Har bir nuqtani chiziqli tenglamaga qoʻying (osonroq);
- Oʻtganlarini parabolaga qoʻying;
- Ikkalasidan ham oʻtgani — javob.
Bu koʻpincha 20 soniya, yechish esa 80 — va ishora xatosi umuman boʻlmaydi.
x2 = x + 2 → x = 2, javob 2
Javob (2, 4)
Sistemaning yechimi — nuqta. x ni topgach, y ni ham toping.
x2 + 1 = x − 1 → x2 + x + 2 = 0
x2 − x + 2 = 0
x ni chapga oʻtkazganda ishorasi almashadi. Bu yerda diskriminantning qiymati oʻzgarmaydi, lekin koʻp savolda oʻzgaradi.
Mashq
1 Solve the system: y = x2 and y = 4
Javobni koʻrish
(2, 4) va (−2, 4) — x2 = 4 ning ikkita ildizi bor.
2 Solve the system: y = x2 − 3 and y = 2x
Javobni koʻrish
(3, 6) va (−1, −2).
3 How many points of intersection do y = x2 and y = −2 have?
Javobni koʻrish
Hech qanday — x2 = −2 ning haqiqiy yechimi yoʻq.
4 Solve the system: y = x2 + 2x and y = 3x + 6
Javobni koʻrish
(3, 15) va (−2, 0) — x2 − x − 6 = 0.
5 For what value of c is the line y = c tangent to y = x2 − 4x + 7?
Javobni koʻrish
c = 3 — uch (2, 3) da, va gorizontal chiziq parabolaga faqat uchida urinadi.
Key words
- system of equationstenglamalar sistemasi
- non-linearchiziqli boʻlmagan
- ordered pairtartiblangan juftlik (x, y)
- point of intersectionkesishish nuqtasi
- tangent tourinuvchi (D = 0)
- substitutionoʻrniga qoʻyish usuli
- satisfies both equationsikkala tenglamani ham qanoatlantiradi
- solve the systemsistemani yeching
- graphs intersectgrafiklar kesishadi
- no real solutionhaqiqiy yechim yoʻq
Esda qoladigan uch narsa
- Tenglashtiring, nolga keltiring, kvadrat tenglamani yeching.
- Javob — nuqta: y ni chiziqli tenglamadan toping.
- Nechta kesishish — diskriminant; «tangent» degani D = 0.