Mathematics

SAT-41: Simplifying Rational Expressions & Polynomial Division

Suratni ham, maxrajni ham ajrating va umumiy qavsni qisqartiring. Boʻlinmasa — qoldiqli koʻrinishda yozing.

PO
powerty
Iyun 26, 2026
22 4 daqiqa 0

SAT-41: Simplifying Rational Expressions & Polynomial Division

Kasrli ifodani qisqartirish uchun bitta qoida bor, va SAT uni buzishga undaydigan javoblarni ataylab qoʻyadi: faqat koʻpaytuvchini qisqartirish mumkin, hadni emas.

Bu darsdan keyin siz

  • surat va maxrajni ajratib, umumiy qavsni qisqartirasiz;
  • had va koʻpaytuvchi farqini hech qachon adashtirmaysiz;
  • taqiqlangan qiymatni saqlab qolasiz (SAT-40);
  • boʻlinmaydigan ifodani qoldiq bilan yozasiz.
The one rule koʻpaytuvchi qisqaradi · had qisqarmaydi

Qisqartirish — uch qadam

(x2 − 9) ÷ (x + 3) Taqiq: x ≠ −3 (SAT-40)
(x − 3)(x + 3) ÷ (x + 3) Suratni ajratdik — kvadratlar ayirmasi (SAT-30)
x − 3, x ≠ −3 (x + 3) butun qavs — koʻpaytuvchi, shuning uchun qisqaradi
Ehtiyot boʻling Qisqartirish taqiqni oʻchirmaydi. x − 3 ifodasi x = −3 da −6 beradi, asl ifoda esa u yerda aniqlanmagan. SAT baʼzan javob variantiga «x ≠ −3» ni ataylab qoʻshadi.

Eng koʻp uchraydigan xato

(x + 3) ÷ 3 = x

Qisqarmaydi

Suratda qoʻshish turibdi, koʻpaytirish emas. 3 — had, koʻpaytuvchi emas.

(x2 + 4) ÷ (x + 2) = x + 2

Qisqarmaydi — x2 + 4 ajralmaydi

Kvadratlar yigʻindisi ajralmaydi; faqat ayirmasi ajraladi (SAT-30).

Oʻzbekcha Tez sinov: surat butunlay qavsga oʻralganmi? (x + 3)(x − 3) — ha, demak har bir qavs koʻpaytuvchi. x2 + 4x − ha, lekin faqat x ni chiqargandan keyin: x(x + 4). Plyus belgisi koʻrinib turgan joyda hech narsa qisqarmaydi.

Boʻlinmasa — qoldiq bilan

Baʼzida maxraj suratga toʻliq boʻlinmaydi. U holda javob butun qism + qoldiq koʻrinishida yoziladi — bu SAT'ning sevimli javob shakli.

(x2 + 5x + 7) ÷ (x + 2) Surat ajralmaydi: 7 ni beradigan juftlik 5 ni bermaydi
x2 + 5x + 7 = (x + 2)(x + 3) + 1 (x+2)(x+3) = x2 + 5x + 6, yetmagani 1
x + 3 + 1 ÷ (x + 2) Butun qism x + 3, qoldiq 1
Oʻqituvchi maslahati Uzun boʻlishni oʻrganish shart emas. Qavsni tanlang va tekshiring: (x + 2) ni nimaga koʻpaytirsam x2 + 5x chiqadi? — (x + 3) ga. Oching, asl surat bilan solishtiring, farqi qoldiq boʻladi. Bu SAT'da ancha tez.

Exam English — savol qanday soʻraydi

  • which expression is equivalent toqaysi ifoda teng kuchli
  • in simplest formeng sodda koʻrinishda
  • where x ≠ −2x −2 ga teng boʻlmaganda
  • the remainderqoldiq
  • reduce the fractionkasrni qisqartiring

SAT savollari

SAT-style question 55 s

Which expression is equivalent to (x2 − 16) ÷ (x − 4), where x ≠ 4?

  1. x + 4
  2. x − 4
  3. x2 − 4
  4. 4
Yechimni koʻrish

Javob: A) x + 4

x2 − 16 = (x − 4)(x + 4), va (x − 4) qisqaradi.

Tekshiruv: x = 5 da asl ifoda (25 − 16) ÷ 1 = 9, va 5 + 4 = 9 ✓

Tuzoq javob x − 4 Maxrajdagi qavs javobga koʻchirilgan. Qisqaradigan qavs yoʻqoladi; qoladigani — ikkinchisi.

SAT-style question 90 s

Which expression is equivalent to (x2 + 5x + 7) ÷ (x + 2)?

  1. x + 3 + 1 ÷ (x + 2)
  2. x + 3
  3. x + 7 ÷ (x + 2)
  4. x + 3 − 1 ÷ (x + 2)
Yechimni koʻrish

Javob: A) x + 3 + 1 ÷ (x + 2)

(x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6, va suratda 7 bor — demak qoldiq 1.

Tekshiruv x = 0 da: asl ifoda 7 ÷ 2 = 3.5, va 3 + 0.5 = 3.5 ✓

Tuzoq javob x + 3 Qoldiq tashlab ketilgan. x = 0 qoʻyib koʻring: bu javob 3 beradi, asl ifoda esa 3.5.
Test-day taktikasi

Teng kuchli ifoda soʻralganda hisoblamang — bitta son qoʻying:

  1. Taqiqlanmagan oson son tanlang (koʻpincha x = 0 yoki 1);
  2. Asl ifodaning qiymatini hisoblang;
  3. Har bir javobni oʻsha sonda tekshiring — bittasi mos keladi.

Bu usul qisqartirish xatosini ham, qoldiqni unutishni ham butunlay chetlab oʻtadi.

Oʻzbekcha Qoldiqli javobning maʼnosi oddiy: (x + 2) suratga toʻliq sigʻmaydi, va sigʻmay qolgan qismi 1 boʻlib qoladi. Bu 17 ÷ 5 = 3 va qoldiq 2 bilan bir xil fikr, faqat harflar bilan.
Oʻzbekcha Javob variantlari orasida x ≠ … shartli va shartsiz variantlar boʻlsa, shartlisini tanlang: qisqartirilgan ifoda asl ifodaga faqat oʻsha qiymat chiqarib tashlanganda teng boʻladi.

Mashq

1 Simplify: (x2 − 25) ÷ (x − 5)

Javobni koʻrish

x + 5, bunda x ≠ 5.

2 Simplify: (x2 + 5x + 6) ÷ (x + 2)

Javobni koʻrish

x + 3 — surat (x + 2)(x + 3).

3 Simplify: (2x2 + 7x + 3) ÷ (x + 3)

Javobni koʻrish

2x + 1 — surat (2x + 1)(x + 3) (SAT-32).

4 Can (x + 5) ÷ 5 be simplified to x?

Javobni koʻrish

Yoʻq — 5 had, koʻpaytuvchi emas. x = 5 da asl ifoda 2, x esa 5.

5 Write (x2 + 3x + 5) ÷ (x + 1) with a remainder.

Javobni koʻrish

x + 2 + 3 ÷ (x + 1) — chunki (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2, va 5 − 2 = 3.

Key words

  • rational expressionkasrli ifoda
  • simplest formeng sodda koʻrinish
  • common factorumumiy koʻpaytuvchi
  • factor vs termkoʻpaytuvchi va had
  • cancelqisqartirmoq
  • numerator / denominatorsurat / maxraj
  • remainderqoldiq
  • quotientboʻlinma (butun qism)
  • equivalent expressionteng kuchli ifoda
  • undefined at… da aniqlanmagan

Esda qoladigan uch narsa

  • Avval ajrating, keyin qisqartiring — hech qachon teskarisi emas.
  • Faqat koʻpaytuvchi qisqaradi; plyus koʻringan joyda hech narsa qisqarmaydi.
  • Boʻlinmasa, butun qism + qoldiq ÷ maxraj koʻrinishida yozing.
Rivojlanishni kuzatish uchun kiring
Foydali bo'ldimi? Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring
Barcha darsliklar
PO
powerty
Muallif  · Staff
Iyun 26, 2026 Sen. 4, 2026
22
Ko'rishlar
0
Yoqishlar
4m
O'qildi
Pleylist
Prime SAT Math
Qism 41 / 100
Oldingi Keyingi
Mashqlar
SAT-41 Practice: Simplifying Rational Expressions & Polynomial Division
O'qish
What the Bolt Would Not Give
O'xshash darsliklar
GMAT-35: Data Insights Strategy and Mixed Review
4m
GMAT-34: Multi-Source Reasoning
4m
GMAT-33: Two-Part Analysis
5m
GMAT-32: Graphics Interpretation
4m