Mathematics

PM-97: Dirixle prinsipi — kaptarxona qoidasi

Agar kaptarlar uyalardan koʻp boʻlsa, kamida bitta uyada ikkita kaptar bor. Juda oddiy koʻrinadigan bu gap kutilmagan narsalarni isbotlaydi.

powerty

Aug. 17, 2026

4 6 min 0

PM-97: Dirixle prinsipi — kaptarxona qoidasi

Sinfda 13 oʻquvchi bor. Ularning kamida ikkitasi bir oyda tugʻilgan.

Bu gapni hech kimning tugʻilgan kunini bilmasdan aytdik. Va u shunchaki ehtimol emas — kafolat. Chunki yilda 12 oy bor, oʻquvchilar esa 13 ta.

Bu — Dirixle prinsipi. U juda oddiy, lekin uning yordamida ajablanarli narsalarni isbotlash mumkin.

Bu darsda siz

kaptarxona qoidasini oʻrganasiz;
«eng yomon hol» mulohazasini qoʻllaysiz;
kuchaytirilgan shaklini (kamida nechta) hisoblaysiz;
prinsip nimani isbotlamasligini bilib olasiz.

Dirixle prinsipi n + 1 ta kaptar → n ta uya → kamida bittasida 2 ta

1. Qoida va uning isboti

Beshta kaptarni toʻrtta uyaga qanday joylashtirmang, kamida bitta uyada ikkitasi boʻladi.

Nega shunday? Teskarisini faraz qilaylik: har bir uyada koʻpi bilan bitta kaptar boʻlsin. Unda jami kaptarlar soni koʻpi bilan 4 ta boʻlardi. Lekin bizda 5 ta. Ziddiyat — demak faraz notoʻgʻri.

Prinsipning umumiy koʻrinishi

Agar n ta obyekt k ta guruhga boʻlinsa va n > k boʻlsa, kamida bitta guruhda 2 ta obyekt boʻladi.
Kuchaytirilgan shakli: kamida bitta guruhda n ÷ k dan kam boʻlmagan (yuqoriga yaxlitlangan) obyekt boʻladi.

13 oʻquvchi, 12 oy → kamida 2 tasi bir oyda

Oʻn uch kaptar, oʻn ikki uya.

400 oʻquvchi, 365 kun → kamida 2 tasi bir kunda

Katta maktabda ikki kishining tugʻilgan kuni albatta bir xil.

25 oʻquvchi, 12 oy → 25 ÷ 12 = 2,08 → kamida 3 tasi bir oyda

Yaxlitlash yuqoriga qilinadi (PM-14): odam soni butun boʻlishi kerak.

Nega yuqoriga yaxlitlanadi?

Agar har bir oyda koʻpi bilan 2 ta oʻquvchi boʻlsa, jami 12 × 2 = 24 ta boʻlardi. Bizda esa 25 ta. Demak biror oyda kamida 3 ta bor. 2,08 ni pastga yaxlitlash mantiqni buzadi.

2. Eng yomon hol — asosiy mulohaza

Dirixle masalalarining koʻpchiligi shu savol bilan yechiladi: eng omadsiz holda nima boʻladi?

Masala. Qorongʻi xonada qutida 10 ta qora va 10 ta oq paypoq bor. Koʻrmasdan kamida nechta paypoq olish kerakki, ular orasida bir xil rangdagi juft albatta boʻlsin?

Eng yomon hol: 1 ta qora va 1 ta oq Ikkita olganda juft chiqmasligi mumkin

Uchinchi paypoq — yo qora, yo oq Uchinchi rang yoʻq

Javob: 3 ta 3 ta kaptar, 2 ta uya (rang)

«Kafolatlansin» degan soʻz muhim

Ikkita paypoq olganda ham juft chiqishi mumkin — omad kelsa. Lekin savol omad haqida emas: javob har qanday holda ishlashi kerak. Shuning uchun har doim eng omadsiz holni hisoblang.

3. Prinsip nimani AYTMAYDI

Bu — darsning eng muhim yarim sahifasi.

Prinsip aytadi

Bunday ikki kishi bor.
Ular albatta mavjud.

Prinsip aytmaydi

Ular kimligi.
Qaysi oyda ekani.
Nechtaligi (aniq).

Mavjudlik isboti

Dirixle prinsipi mavjudlikni isbotlaydi, topib bermaydi. «Sinfda bir oyda tugʻilgan ikki kishi bor» — rost. «Ular Bekzod bilan Afsona» — buni prinsip aytmaydi, buning uchun roʻyxatni koʻrish kerak. PM-96 dagi juftlik esa aksincha — imkonsizlikni isbotlardi. Ikki dars, isbotlashning ikki turi.

Matnli masala

Qutida 5 xil rangdagi sharlar bor va har bir rangdan koʻp miqdorda mavjud. Bekzod koʻzini yumib shar olmoqda.

Kamida nechta shar olsa, ular orasida bir xil rangdagi 3 ta shar boʻlishi kafolatlanadi?

Reja: eng yomon holni quramiz — Bekzodga imkon qadar uzoq vaqt «uchtalik» chiqmasin.

Eng yomon hol: har rangdan 2 tadan Uchtalik hali yoʻq, lekin koʻproq olib boʻlmaydi

5 × 2 = 10 ta shar Beshta rang, har biridan ikkitadan

11-shar qaysi rang boʻlmasin… Beshta rangdan biriga tushadi

…oʻsha rang 3 taga yetadi. Javob: 11 ta 10 ta yetarli emas, 11 ta kafolatlaydi

Ikki tomondan tekshiramiz

10 ta yetarli emasmi? Ha — har rangdan 2 tadan olingan boʻlishi mumkin, unda uchtalik yoʻq.
11 ta yetarlimi? Ha — agar har rangdan koʻpi bilan 2 tadan boʻlsa, jami 10 tadan oshmasdi. 11 ta bor ekan, demak biror rangdan kamida 3 ta bor ✓
Javob: 11 ta shar.

Umumiy qoida k xil rangdan m tadan kafolatlash uchun k × (m − 1) + 1 ta olish kerak. Bu yerda: 5 × (3 − 1) + 1 = 11 ✓ Paypoq masalasida: 2 × (2 − 1) + 1 = 3 ✓

Koʻp uchraydigan xatolar

«13 oʻquvchidan ikkitasi bir oyda tugʻilgan boʻlishi mumkin»

Albatta tugʻilgan — bu kafolat

Dirixle prinsipi ehtimol haqida emas. U hech qanday istisnosiz ishlaydi.

Paypoq masalasida javob 2 ta

3 ta

Ikkita olganda bittasi qora, bittasi oq chiqishi mumkin. «Kafolatlansin» degani eng yomon holni ham qoplashi kerak.

25 ÷ 12 = 2,08 → kamida 2 ta

Kamida 3 ta

Yuqoriga yaxlitlanadi. Har oyda koʻpi bilan 2 ta boʻlsa, jami 24 ta boʻlardi — 25 ta emas.

«Demak Bekzod bilan Afsona bir oyda tugʻilgan»

«Bunday ikki kishi bor» — kimligi nomaʼlum

Prinsip mavjudlikni isbotlaydi, aniq odamlarni koʻrsatmaydi.

Mashq

1. Sinfda 8 oʻquvchi bor, hafta esa 7 kundan iborat. Nima deyish mumkin?

Javobni koʻrish

Kamida ikkitasi haftaning bir kunida tugʻilgan. 8 ta kaptar, 7 ta uya.

2. Qutida 3 xil rangdagi qalam bor. Kamida nechta olsa, ikkitasi bir xil rangda boʻlishi kafolatlanadi?

Javobni koʻrish

4 ta. Eng yomon hol — har rangdan bittadan (3 ta). Toʻrtinchisi albatta takrorlanadi. Formula: 3 × (2 − 1) + 1 = 4.

3. 30 oʻquvchi bor, yilda 12 oy. Kamida nechtasi bir oyda tugʻilgan?

Javobni koʻrish

Kamida 3 tasi. 30 ÷ 12 = 2,5 → yuqoriga yaxlitlab 3. Tekshirish: har oyda koʻpi bilan 2 ta boʻlsa, jami 24 ta boʻlardi — 30 ta emas.

4. Qutida 4 xil rangdagi shar bor. Kamida nechta olsa, bir xil rangdagi 2 ta shar kafolatlanadi?

Javobni koʻrish

5 ta. 4 × (2 − 1) + 1 = 5. Eng yomon hol — har rangdan bittadan, yaʼni 4 ta; beshinchisi takrorlaydi.

5. Qutida 3 xil rangdagi shar bor. Bir xil rangdagi 4 ta shar kafolatlanishi uchun kamida nechta olish kerak?

Javobni koʻrish

10 ta. 3 × (4 − 1) + 1 = 10. Eng yomon hol — har rangdan 3 tadan (9 ta), oʻninchisi biror rangni 4 taga yetkazadi.

6. 100 ta son berilgan. Ularning kamida nechtasi bir xil qoldiq beradi 7 ga boʻlinganda?

Javobni koʻrish

Kamida 15 tasi. 7 ga boʻlganda qoldiq 0 dan 6 gacha — jami 7 xil (uyalar). 100 ÷ 7 ≈ 14,3 → yuqoriga yaxlitlab 15. Tekshirish: har qoldiqdan koʻpi bilan 14 ta boʻlsa, jami 98 ta boʻlardi.

7. Dirixle prinsipi yordamida «sinfda Bekzod bilan Afsona bir oyda tugʻilgan» deb aytish mumkinmi?

Javobni koʻrish

Yoʻq. Prinsip faqat bunday ikki kishi borligini isbotlaydi, ularning kimligini emas. Aniq odamlarni bilish uchun tugʻilgan kunlar roʻyxatini koʻrish kerak.

Kalit soʻzlar

Dirixle prinsipikaptarxona qoidasi; ingl. pigeonhole principle
Uyaobyektlar taqsimlanadigan guruh; ingl. hole
Eng yomon holmaqsadga eng uzoq turadigan holat; ingl. worst case
Kafolathar qanday holda bajariladigan xulosa; ingl. guarantee
Mavjudlik isbotiobyekt borligini koʻrsatish, uni topmasdan; ingl. existence proof
Ziddiyatfarazdan kelib chiqqan qarama-qarshilik; ingl. contradiction
Teskari farazisbot uchun aksini taxmin qilish; ingl. assumption for contradiction
Qoldiqboʻlishdan keyin qoladigan son; ingl. remainder
Yuqoriga yaxlitlashbutun songacha oshirish; ingl. rounding up