PM-96: Juftlik (juft-toq) gʻoyasi
Baʼzi masalalarda javob «mumkin emas» boʻladi — va buni isbotlash mumkin. Buning uchun oʻzgarmaydigan xossa topiladi: koʻpincha bu juft-toqlik.
PM-96: Juftlik (juft-toq) gʻoyasi
Stolda 9 ta stakan turibdi va hammasi agʻdarib qoʻyilgan. Bir harakatda roppa-rosa 2 tasini agʻdarish mumkin. Hammasini toʻgʻri holatga keltirish mumkinmi?
Urinib koʻrsangiz — boʻlmaydi. Yana urinsangiz — yana boʻlmaydi. Lekin «men koʻp urindim» degan gap isbot emas. Ehtimol yoʻlni topolmagandirsiz?
Bu darsda biz buni isbotlaymiz. Va isbot uchun bitta gʻoya kifoya: oʻzgarmaydigan xossa topish.
Bu darsda siz
- juft va toq sonlarning qoʻshilish qoidalarini eslaysiz;
- oʻzgarmas xossa — invariant — nima ekanini bilib olasiz;
- «mumkin emas» degan javobni isbotlaysiz;
- doskani boʻyash usulini koʻrasiz.
1. Juft va toq — qoidalarni eslaymiz
| Amal | Natija | Nega |
|---|---|---|
| juft + juft | juft | 2a + 2b = 2(a + b) |
| toq + toq | juft | (2a+1) + (2b+1) = 2(a+b+1) |
| juft + toq | toq | 2a + 2b + 1 |
| juft × istalgan son | juft | 2a × n = 2(an) |
Ikkita toq son qoʻshilsa JUFT chiqadi
Bu qoida koʻpchilikni ajablantiradi: 3 + 5 = 8, 7 + 9 = 16, 11 + 13 = 24. Har bir toq sonda «bitta ortiqcha» bor; ikkitasi qoʻshilganda oʻsha ikkita ortiqcha juftlashadi.
2. Stakanlar masalasi — isbot
Endi boshdagi masalaga qaytamiz. Kuzatib boradigan narsani tanlaymiz: agʻdarilgan stakanlar soni.
Boshida u 9 ta — toq son.
Bir harakatda ikkita stakan agʻdariladi. Uch xil hol boʻlishi mumkin:
| Qanday ikkita stakan olindi | Agʻdarilganlar soni | Oʻzgarish |
|---|---|---|
| Ikkalasi ham agʻdarilgan edi | 2 taga kamaydi | −2 |
| Ikkalasi ham toʻgʻri edi | 2 taga ortdi | +2 |
| Biri agʻdarilgan, biri toʻgʻri | oʻzgarmadi | 0 |
Invariant — oʻzgarmas xossa
Biz «agʻdarilganlar sonining juft-toqligi» degan xossani topdik va u hech qanday harakatda oʻzgarmasligini koʻrsatdik. Shunday xossa invariant deyiladi. Agar boshlangʻich holatning invarianti maqsadnikidan farq qilsa — maqsadga yetib boʻlmaydi. Bu — imkonsizlikni isbotlashning eng oddiy va eng kuchli usuli.
Agar 3 tadan agʻdarilsa nima boʻladi?
Unda har bir harakat sonni ±3 yoki ±1 ga oʻzgartiradi — hammasi toq. Demak juft-toqlik har safar almashadi va maqsadga yetish mumkin boʻlib qoladi. Qoida oʻzgarmadi, faqat harakat oʻzgardi.
3. Ikkinchi misol — belgilar bilan
Masala. 1 dan 10 gacha boʻlgan sonlar oldiga «+» yoki «−» belgilarini qoʻyib, natijani 0 ga tenglashtirish mumkinmi?
4. Doskani boʻyash
Juftlik gʻoyasi faqat sonlarda emas. Mana uning eng chiroyli koʻrinishi.
Masala. 4 × 4 doskadan ikkita qarama-qarshi burchak kesib olindi. Qolgan qismni 2 × 1 oʻlchamli domino toshlari bilan toʻliq qoplash mumkinmi?
Kataklar soni yetarli boʻlishi kifoya emas
Qolgan 14 ta katak va 7 ta domino — sonlar mos keladi. Shunga qaramay qoplab boʻlmaydi. Bu — juftlik gʻoyasining eng kuchli tomoni: u sonlar «toʻgʻri» boʻlganda ham imkonsizlikni koʻrsata oladi.
Matnli masala
Sinfda 25 oʻquvchi bor. Bayram kuni ular bir-biri bilan qoʻl berib koʻrishishdi.
Har bir oʻquvchi roppa-rosa 3 kishi bilan qoʻl berishi mumkinmi?
Reja: qoʻl berishlar sonini ikki xil yoʻl bilan sanaymiz. Ikkala hisob bir xil chiqishi shart — aks holda bunday holat mumkin emas.
Boshqacha aytganda
Yigʻindi 25 × 3 = 75 — toq son. Lekin u har doim juft
boʻlishi kerak, chunki u qoʻl berishlar sonining ikki barobari.
Toq ≠ juft, demak bunday holat mavjud emas.
Javob: yoʻq, mumkin emas.
Bu qoida har doim ishlaydi
Istalgan guruhda «har kim necha kishi bilan qoʻl berdi» degan sonlarning yigʻindisi har doim juft boʻladi. Shuning uchun toq sondagi odam toq marta qoʻl berishi mumkin emas. 25 ta odam 4 marta qoʻl berishi esa mumkin: 25 × 4 = 100, juft ✓
Koʻp uchraydigan xatolar
«Men koʻp urindim, boʻlmadi — demak mumkin emas»
Invariant topib, isbotlash
Urinishlar isbot emas. Balki yoʻl bor, siz topmagandirsiz. Invariant esa hamma yoʻlni bir yoʻla yopadi.
toq + toq = toq
toq + toq = juft
3 + 5 = 8, 7 + 7 = 14. Ikkita «ortiqcha bir» qoʻshilib juftlashadi.
Ikkita stakan agʻdarilsa, juftlik oʻzgaradi
±2 yoki 0 — juftlik oʻzgarmaydi
Uchala hol ham juft son bilan oʻzgartiradi, demak toqlik saqlanadi.
25 × 3 = 75 ta qoʻl berish boʻlgan
75 — bu ikki barobar sanalgan son
Har bir qoʻl berishda ikki kishi qatnashadi, shuning uchun yigʻindi qoʻl berishlar sonining ikki barobari.
Mashq
1. Toq son bilan toq sonning yigʻindisi qanday boʻladi?
Javobni koʻrish
Juft. (2a + 1) + (2b + 1) = 2(a + b + 1). Misol: 9 + 7 = 16.
2. Uchta toq sonning yigʻindisi qanday boʻladi?
Javobni koʻrish
Toq. Ikkitasi qoʻshilib juft beradi, uchinchisi uni yana toq qiladi: 3 + 5 + 7 = 15.
3. Stolda 7 ta stakan agʻdarilgan. Har safar 2 tasi agʻdariladi. Hammasini toʻgʻrilash mumkinmi?
Javobni koʻrish
Yoʻq. 7 — toq son, har bir harakat esa juft son bilan oʻzgartiradi (−2, 0, +2). Demak agʻdarilganlar soni har doim toq qoladi va hech qachon 0 boʻlmaydi.
4. Stolda 8 ta stakan agʻdarilgan. Har safar 2 tasi agʻdariladi. Endi-chi?
Javobni koʻrish
Ha, mumkin. 8 — juft son, maqsad 0 ham juft. Toʻrt marta ikkitadan agʻdarish yetadi. Invariant bu safar toʻsiq boʻlmaydi.
5. 1 dan 9 gacha sonlar oldiga «+» va «−» qoʻyib, 0 chiqarish mumkinmi?
Javobni koʻrish
Yoʻq. 1 + 2 + … + 9 = 45 — toq. Belgi almashtirish yigʻindini juft songa oʻzgartiradi, demak toqlik saqlanadi. 0 esa juft.
6. Sinfda 15 oʻquvchi bor. Har biri roppa-rosa 5 kishi bilan qoʻl berishi mumkinmi?
Javobni koʻrish
Yoʻq. 15 × 5 = 75 — toq son. Lekin bu yigʻindi qoʻl berishlar sonining ikki barobari boʻlishi, yaʼni juft boʻlishi kerak edi.
7. Sinfda 10 oʻquvchi bor. Har biri roppa-rosa 3 kishi bilan qoʻl berishi mumkinmi? Nechta qoʻl berish boʻladi?
Javobni koʻrish
Ha, mumkin. 15 ta qoʻl berish. 10 × 3 = 30 — juft son, demak toʻsiq yoʻq. Qoʻl berishlar soni 30 ÷ 2 = 15. Diqqat: juftlik faqat imkonsizlikni isbotlaydi; juft chiqishi esa mumkinligini kafolatlamaydi, faqat toʻsiq yoʻqligini koʻrsatadi.
Kalit soʻzlar
- Juft son2 ga qoldiqsiz boʻlinadigan son; ingl. even number
- Toq son2 ga boʻlinmaydigan son; ingl. odd number
- Juftliksonning juft yoki toqligi; ingl. parity
- Invarianthech qanday harakatda oʻzgarmaydigan xossa; ingl. invariant
- Imkonsizlik isbotimaqsadga yetib boʻlmasligini koʻrsatish; ingl. impossibility proof
- Harakatholatni oʻzgartiradigan bitta qadam; ingl. move
- Holatobyektlarning ayni paytdagi joylashuvi; ingl. state
- Boʻyash usulikataklarni navbatma-navbat rangga ajratish; ingl. colouring argument
- Dominoikkita qoʻshni katakni qoplovchi tosh; ingl. domino
Qisqacha
- toq + toq = juft; juft + toq = toq.
- Invariant — hech qanday harakatda oʻzgarmaydigan xossa.
- Boshlangʻich holat bilan maqsadning invarianti farq qilsa — mumkin emas.
- «Urinib koʻrdim, boʻlmadi» isbot emas; invariant esa isbot.
- Doskani boʻyash — juftlikning geometrik koʻrinishi.
- Qoʻl berishlar yigʻindisi har doim juft boʻladi.
- Juftlik imkonsizlikni isbotlaydi; mumkinligini esa yoʻlni koʻrsatib isbotlash kerak.