SAT-42: The Remainder Theorem and the Factor Theorem
Koʻphadni (x − a) ga boʻlishdan chiqadigan qoldiq — bu shunchaki P(a). Qoldiq nol boʻlsa, (x − a) koʻpaytuvchi.
SAT-42: The Remainder Theorem and the Factor Theorem
SAT-41 da boʻlish uzun ish edi. Endi bitta hayratlanarli qisqartma: qoldiqni topish uchun boʻlish shart emas — bitta son qoʻyish yetadi.
Bu darsdan keyin siz
- qoldiqni P(a) hisoblab topasiz;
- (x − a) koʻpaytuvchimi yoʻqmi — bir qadamda aytasiz;
- (x + 3) ni koʻrsangiz x = −3 qoʻyasiz;
- noma'lum koeffitsientni topish savollarini yechasiz.
Nima uchun ishlaydi
Har qanday boʻlishni shunday yozish mumkin: P(x) = (x − a)·Q(x) + R. Endi x oʻrniga a qoʻying — birinchi qavs nolga aylanadi va butun ko'paytma yoʻqoladi. Qoladigani faqat R.
Bir qatorda
P(a) = (a − a)·Q(a) + R = 0 · Q(a) + R = R
Qoldiqni topish
Koʻpaytuvchi teoremasi ish boshida
P(x) = x3 − 4x2 + x + 6 ni ajratish kerak boʻlsin. Kubik uchun tayyor formula yoʻq, lekin bir nechta oson sonni sinab koʻrish mumkin:
| Sinov | Hisob | Xulosa |
|---|---|---|
| P(1) | 1 − 4 + 1 + 6 = 4 | koʻpaytuvchi emas |
| P(2) | 8 − 16 + 2 + 6 = 0 | (x − 2) koʻpaytuvchi ✓ |
| P(−1) | −1 − 4 − 1 + 6 = 0 | (x + 1) koʻpaytuvchi ✓ |
| P(3) | 27 − 36 + 3 + 6 = 0 | (x − 3) koʻpaytuvchi ✓ |
Uchta nol topildi, daraja ham uch — demak P(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 3), va boshqa nol yoʻq.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- the remainder when P(x) is divided byP(x) … ga boʻlingandagi qoldiq
- is a factor of… ning koʻpaytuvchisi
- P(3) = 0demak (x − 3) koʻpaytuvchi va 3 — nol
- for what value of kk ning qaysi qiymatida
- which of the following must be trueqaysi biri albatta toʻgʻri
SAT savollari
SAT-style question 60 s
What is the remainder when P(x) = x3 − 2x2 + 3x − 5 is divided by x − 2?
- 1
- 0
- −5
- −27
Yechimni koʻrish
Javob: A) 1
P(2) = 8 − 8 + 6 − 5 = 1.
−27 — P(−2) hisoblangan: −8 − 8 − 6 − 5. Boʻluvchi (x − 2) boʻlsa x = +2 qoʻyiladi.
SAT-style question 85 s
In the polynomial P(x) = x3 + kx2 − 4x + 1, k is a constant. If x − 1 is a factor of P, what is the value of k?
- 2
- −2
- 4
- 1
Yechimni koʻrish
Javob: A) 2
«x − 1 is a factor» → P(1) = 0. Demak 1 + k − 4 + 1 = 0 → k = 2.
Tekshiruv: P(x) = x3 + 2x2 − 4x + 1, va P(1) = 1 + 2 − 4 + 1 = 0 ✓
Bu mavzuda uchta iborani uchta amalga bogʻlang:
- «remainder when divided by (x − a)» → P(a) ni hisoblang;
- «(x − a) is a factor» → P(a) = 0 deb yozing;
- «P(a) = 0» → a nol, (x − a) koʻpaytuvchi, va grafik u yerda x oʻqini kesadi (SAT-43).
Uchalasi bir xil faktning uch xil aytilishi — bu ularni yodlashning eng qisqa yoʻli.
(x + 3) ga boʻlish → P(3) ni hisoblash
P(−3)
(x + 3) = (x − (−3)), demak a = −3.
P(2) = 0 → 2 koʻpaytuvchi
(x − 2) koʻpaytuvchi
Koʻpaytuvchi — qavs, son emas. 2 esa nol deyiladi.
Mashq
1 What is the remainder when x2 + 3x + 5 is divided by x + 1?
Javobni koʻrish
3 — P(−1) = 1 − 3 + 5.
2 Is (x + 2) a factor of x3 + 2x2 − x − 2?
Javobni koʻrish
Ha — P(−2) = −8 + 8 + 2 − 2 = 0.
3 If P(4) = 0, which expression must be a factor of P?
Javobni koʻrish
(x − 4) — koʻpaytuvchi teoremasi.
4 Is (x − 1) a factor of x3 − 7x + 6?
Javobni koʻrish
Ha — P(1) = 1 − 7 + 6 = 0.
5 For what value of k is (x − 2) a factor of x2 + kx − 10?
Javobni koʻrish
k = 3 — P(2) = 4 + 2k − 10 = 0.
Key words
- polynomialkoʻphad
- remainder theoremqoldiq haqidagi teorema
- factor theoremkoʻpaytuvchi haqidagi teorema
- is divided by… ga boʻlinadi
- is a factor of… ning koʻpaytuvchisi
- zero of the polynomialkoʻphadning noli
- constant termerkin had
- evaluateqiymatini hisoblamoq
- must be truealbatta toʻgʻri
- cubickubik (uchinchi darajali)
Esda qoladigan uch narsa
- Qoldiq = P(a) — boʻlish shart emas.
- P(a) = 0 boʻlsa (x − a) koʻpaytuvchi; aksi ham toʻgʻri.
- (x + 3) ni koʻrsangiz x = −3 qoʻying.