SAT-43: Graphs of Higher-Degree Polynomials — End Behavior & Multiplicity
Grafikning ikki chekkasini daraja va bosh koeffitsient hal qiladi; har bir nolda kesish yoki urinish — karralilikning juft-toqligi.
SAT-43: Graphs of Higher-Degree Polynomials — End Behavior & Multiplicity
Uchinchi va toʻrtinchi darajali koʻphadning grafigini toʻliq chizish SAT'da soʻralmaydi. Soʻraladigani ikkita: chekkalarda nima boʻladi va har bir nolda grafik kesadimi yoki uriladimi.
Bu darsdan keyin siz
- daraja va bosh koeffitsientdan chekka xatti-harakatini aytasiz;
- karralilik juftmi toqmi — kesish yoki urinish deb oʻqiysiz;
- ajratilgan koʻrinishdan grafikni tasvirlaysiz;
- burilishlar soni darajadan bitta kam ekanini bilasiz.
Chekka xatti-harakati — ikki savol
| Daraja | Bosh koeffitsient | Chap chekka | Oʻng chekka |
|---|---|---|---|
| juft (2, 4) | musbat | yuqoriga | yuqoriga |
| juft | manfiy | pastga | pastga |
| toq (3, 5) | musbat | pastga | yuqoriga |
| toq | manfiy | yuqoriga | pastga |
Karralilik — kesish yoki urinish
Nol qavsda necha marta takrorlansa, oʻsha uning karraliligi. Va grafik uchun faqat bitta narsa muhim: juftmi yoki toqmi.
y = (x − 1)(x + 2)2 ni koʻrib chiqamiz. x = 1 nolining karraliligi 1 (toq) — grafik u yerda oʻqni kesib oʻtadi. x = −2 nolining karraliligi 2 (juft) — grafik u yerda oʻqqa tegib qaytadi.
Burilishlar soni
n-darajali koʻphadning grafigi koʻpi bilan n − 1 marta buriladi. Uchinchi daraja — koʻpi bilan ikki burilish; toʻrtinchi — koʻpi bilan uch. SAT baʼzan rasmni koʻrsatib «bu koʻphadning darajasi kamida qancha?» deb soʻraydi.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- end behaviorchekka xatti-harakati
- as x increases without boundx cheksiz oshganda
- touches the x-axis but does not crossoʻqqa tegadi, lekin kesmaydi
- multiplicitykarralilik
- at least degreedarajasi kamida …
- turning pointsburilish nuqtalari
SAT savollari
SAT-style question 60 s
The function f is defined by f(x) = (x − 1) (x + 2)2. At which value of x does the graph of f touch the x-axis without crossing it?
- x = −2
- x = 1
- x = 2
- x = 0
Yechimni koʻrish
Javob: A) x = −2
(x + 2) kvadratda — karralilik 2, juft, demak urinish.
Tekshiruv: f(−3) = −4 va f(−1) = −2 — ikkala tomonda ham manfiy, ishora almashmagan ✓
SAT-style question 55 s
For the function g(x) = −2x3 + 5x − 1, what happens as x increases without bound?
- g(x) decreases without bound
- g(x) increases without bound
- g(x) approaches −1
- g(x) approaches zero
Yechimni koʻrish
Javob: A) decreases without bound
Toq daraja va manfiy bosh koeffitsient: oʻng chekka pastga ketadi.
Katta x da −2x3 qolgan hamma haddan kattaroq boʻlib qoladi — chekkani doim bosh had hal qiladi.
Grafik savolida faqat uchta narsaga qarang:
- Ikki chekka bir xil tomondami (juft daraja) yoki qarama-qarshimi (toq);
- Har bir nolda kesish (toq) yoki urinish (juft);
- Burilishlar soni — daraja kamida shundan bitta koʻp.
Erkin had, oʻrtadagi koeffitsientlar va grafikning aniq balandligi bu savollarda deyarli hech qachon kerak boʻlmaydi.
(x + 2)2 → grafik x = 2 da uriladi
x = −2 da
Qavsning noli — qavs ichidagi sonning qarama-qarshisi.
−2x3 + 5x − 1 → chekkada −1 ga yaqinlashadi
Pastga cheksiz ketadi
Chekkani bosh had boshqaradi, erkin had emas.
Mashq
1 What is the degree of y = (x − 3)2(x + 1)?
Javobni koʻrish
3 — karraliliklar yigʻindisi 2 + 1.
2 At which zero does the graph of y = (x − 3)2 (x + 1) cross the x-axis?
Javobni koʻrish
x = −1 — karraliligi 1, toq.
3 Describe the end behavior of y = x4 − 3x2 + 1.
Javobni koʻrish
Ikkala chekka ham yuqoriga — juft daraja, musbat bosh koeffitsient.
4 A graph has four turning points. What is the least possible degree of the polynomial?
Javobni koʻrish
5 — burilishlar soni koʻpi bilan daraja minus bir.
5 Describe the end behavior of y = −x5 + 2x.
Javobni koʻrish
Chap chekka yuqoriga, oʻng chekka pastga — toq daraja, manfiy bosh koeffitsient.
Key words
- end behaviorchekka xatti-harakati
- leading coefficientbosh koeffitsient
- degreedaraja
- multiplicitykarralilik
- crosses / toucheskesadi / uriladi
- turning pointburilish nuqtasi
- without boundchegarasiz, cheksiz
- even / odd degreejuft / toq daraja
- flattens outyassilanadi
- at leastkamida
Esda qoladigan uch narsa
- Juft daraja — chekkalar bir xil; toq daraja — qarama-qarshi.
- Nolda toq karralilik kesadi, juft karralilik uriladi.
- Chekkani faqat bosh had hal qiladi; erkin had emas.