SAT-45: Writing Exponential Functions (y = ab^x) from Word Problems
a — boshlangʻich qiymat, b — har qadamdagi koeffitsient. Oʻsishda b = 1 + foiz, kamayishda b = 1 − foiz.
SAT-45: Writing Exponential Functions from Word Problems
SAT-44 da modelni tanidik. Endi uni yozamiz, va bunda faqat ikkita son kerak: qayerdan boshlangan va har qadamda nechaga koʻpayadi.
Bu darsdan keyin siz
- a va b ni matndan toʻgʻridan-toʻgʻri olasiz;
- foizni koeffitsientga aylantirasiz;
- oʻsish va kamayishni ishoradan ajratasiz;
- «har 3 soatda» kabi boshqa davrni koʻrsatkichda hisobga olasiz.
Foizni koeffitsientga aylantirish
| Matnda | b | Nima uchun |
|---|---|---|
| increases by 5% | 1.05 | eskisi (1) + qoʻshilgani (0.05) |
| increases by 30% | 1.3 | 1 + 0.3 |
| decreases by 15% | 0.85 | 1 − 0.15 |
| doubles | 2 | ikki barobar |
| loses half | 0.5 | yarmi qoladi |
Uchta misol
Uchinchisida ikki yildan keyingi aholi: 8,000 × 1.03 × 1.03 = 8,487.2 kishi. Uch yildan keyin 8,741.816. Har yili qoʻshiladigan son oʻsib boradi — 240, keyin 247.2 — chunki foiz har safar kattaroq miqdordan olinadi.
Davr bir yilga teng boʻlmasa
«500 bakteriya har 3 soatda ikki barobar oshadi» — bu holda soatlar sonini 3 ga boʻlish kerak, chunki koʻpayish har soatda emas, har uchinchi soatda sodir boʻladi. 9 soatdan keyin uch marta ikkilanadi: 500 → 1,000 → 2,000 → 4,000.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- which function models the situationqaysi funksiya vaziyatni ifodalaydi
- the initial valueboshlangʻich qiymat (a)
- where t is the number of yearsbunda t — yillar soni
- decreases by 15% each yearhar yili 15% ga kamayadi → 0.85
- doubles every three hourshar uch soatda ikki barobar oshadi
SAT savollari
SAT-style question 60 s
A car is worth 20,000 dollars and loses 15% of its value each year. Which function gives its value after t years?
- 20,000(0.85)t
- 20,000(1.15)t
- 20,000(0.15)t
- 20,000 − 15t
Yechimni koʻrish
Javob: A) 20,000(0.85)t
Har yili 85 foizi qoladi, demak b = 1 − 0.15 = 0.85.
Tekshiruv: bir yildan keyin 17,000 — bu 20,000 ning 15 foizi kamaygani ✓
SAT-style question 75 s
A town has 8,000 people and its population grows by 3% each year. To the nearest whole number, what will the population be after 2 years?
- 8,487
- 8,480
- 8,240
- 8,600
Yechimni koʻrish
Javob: A) 8,487
8,000 × 1.03 = 8,240, keyin 8,240 × 1.03 = 8,487.2.
8,480 — har yili 240 qoʻshilgan, yaʼni chiziqli hisoblangan. Ikkinchi yilda 247.2 qoʻshilishi kerak edi.
Javoblar funksiya boʻlsa, hisoblamang — bitta yilni sanang:
- Matndan bir yildan keyingi qiymatni ogʻzaki toping;
- Har bir javobga t = 1 qoʻying;
- Mos kelmaganini oʻchiring — odatda bitta variant qoladi.
t = 0 ham foydali: u a ni tekshiradi va notoʻgʻri boshlangʻich qiymatli variantlarni darrov oʻchiradi.
«increases by 5%» → b = 0.05
b = 1.05
Eskisi ham qoladi: 1 (butun) + 0.05 (qoʻshimcha).
8,000 aholi, 3% → 2 yildan keyin 8,480
8,487
Ikkinchi yilda foiz 8,240 dan olinadi, 8,000 dan emas.
Mashq
1 Write a function for 300 bacteria that double every hour.
Javobni koʻrish
300(2)t — a = 300, b = 2.
2 Write a function for a 1,200-dollar laptop losing 20% of its value each year.
Javobni koʻrish
1,200(0.8)t — b = 1 − 0.2.
3 What is that laptop worth after 3 years?
Javobni koʻrish
614.40 dollar — 1,200 × 0.8 × 0.8 × 0.8.
4 A savings account holds 50 dollars and grows by 10% a year. Write the function.
Javobni koʻrish
50(1.1)t.
5 400 bacteria double every 3 hours. How many are there after 9 hours?
Javobni koʻrish
3,200 — uch marta ikkilanadi: 800, 1,600, 3,200.
Key words
- initial valueboshlangʻich qiymat (a)
- growth factoroʻsish koeffitsienti (b)
- models the situationvaziyatni ifodalaydi
- each year / per yearhar yili
- loses valueqiymatini yoʻqotadi
- depreciatesqadrsizlanadi
- to the nearest whole numbereng yaqin butun songacha
- doubles every three hourshar uch soatda ikki barobar
- rate of growthoʻsish sur'ati
- compoundedustiga qoʻshilib boradigan
Esda qoladigan uch narsa
- a — boshlangʻich qiymat, b — har qadamdagi koʻpaytuvchi.
- Oʻsishda b = 1 + foiz, kamayishda b = 1 − foiz.
- Modelni x = 0 va x = 1 da tekshiring — 20 soniyada barcha notoʻgʻri variant oʻchadi.