SAT-48: Function Transformations — Shifts and Reflections
Qavs ichidagi oʻzgarish gorizontal va teskari ishlaydi; qavsdan tashqaridagisi vertikal va kutilganidek.
SAT-48: Function Transformations — Shifts and Reflections
Bitta grafikni bilsangiz, uning oʻnlab qarindoshini chizmasdan tasvirlash mumkin. Bitta qoida hammasini boshqaradi: qavs ichidagi oʻzgarish gorizontal va teskari, qavsdan tashqaridagisi vertikal va toʻgʻri.
Bu darsdan keyin siz
- toʻrtta asosiy siljishni ajratasiz;
- ikkita aks ettirishni belgidan aniqlaysiz;
- bir nechta oʻzgarishni ketma-ket qoʻllaysiz;
- gorizontal siljish nima uchun teskari ekanini tushuntirasiz.
| Yozuv | Nima boʻladi | Yoʻnalish |
|---|---|---|
| f(x) + 3 | 3 birlik yuqoriga | vertikal, toʻgʻri |
| f(x) − 3 | 3 birlik pastga | vertikal, toʻgʻri |
| f(x − 3) | 3 birlik oʻngga | gorizontal, teskari |
| f(x + 3) | 3 birlik chapga | gorizontal, teskari |
| −f(x) | x oʻqiga nisbatan aks | yuqori-past agʻdariladi |
| f(−x) | y oʻqiga nisbatan aks | chap-oʻng agʻdariladi |
Nima uchun gorizontal siljish teskari
Sabab bir jumlada. y = f(x − 3) da xuddi oʻsha qiymatni olish uchun x ni 3 ga kattaroq qilish kerak: eski grafikda f(0) qayerda boʻlsa, yangi grafikda u x = 3 da paydo boʻladi.
Bir nechta oʻzgarish birga
g(x) = f(x − 3) + 2 ikkita ish qiladi: 3 birlik oʻngga va 2 birlik yuqoriga. Tartib ahamiyatsiz, chunki biri gorizontal, ikkinchisi vertikal — ular bir-biriga aralashmaydi.
h(x) = −f(x) + 1 esa avval agʻdaradi, keyin 1 birlik koʻtaradi. Bu yerda tartib muhim: ikkala amal ham vertikal.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- shifted 3 units to the right3 birlik oʻngga surilgan
- translated up 2 units2 birlik yuqoriga koʻchirilgan
- reflected across the x-axisx oʻqiga nisbatan aks ettirilgan
- reflected across the y-axisy oʻqiga nisbatan aks ettirilgan
- the graph of y = f(x) is transformedgrafik oʻzgartirilgan
SAT savollari
SAT-style question 50 s
The graph of y = f(x) is transformed to y = f(x − 4) + 1. How is the graph moved?
- 4 units right and 1 unit up
- 4 units left and 1 unit up
- 4 units right and 1 unit down
- 1 unit right and 4 units up
Yechimni koʻrish
Javob: A) 4 units right and 1 unit up
Qavs ichidagi −4 gorizontal va teskari → oʻngga. Tashqaridagi +1 vertikal va toʻgʻri → yuqoriga.
Nuqta bilan tekshiring: (0, 0) → (4, 1).
SAT-style question 55 s
Which equation gives the graph of y = f(x) reflected across the x-axis?
- y = −f(x)
- y = f(−x)
- y = f(x) − 1
- y = 1 ÷ f(x)
Yechimni koʻrish
Javob: A) y = −f(x)
Butun chiqish qiymati manfiyga aylanadi, demak har bir nuqta x oʻqidan narigi tomonga oʻtadi: (2, 5) → (2, −5).
f(−x) esa kirishni oʻzgartiradi — u chap-oʻng agʻdaradi.
Har qanday oʻzgartirish savolida bitta nuqta tanlang:
- Eski grafikdan oson nuqta oling, masalan uch yoki kesishish;
- Yangi tenglamada oʻsha qiymat qaysi x da chiqishini toping;
- Nuqtaning qayerga koʻchganini javoblar bilan solishtiring.
Bu qoidalarni yodlashdan koʻra ishonchli: bir nuqta hech qachon adashtirmaydi.
f(x − 4) → 4 birlik chapga
4 birlik oʻngga
Qavs ichi nol boʻlishi uchun x = 4 kerak — qiymat oʻngda paydo boʻladi.
−f(x) → y oʻqiga nisbatan aks
x oʻqiga nisbatan aks
Minus qavsdan tashqarida — u chiqishni, yaʼni y ni oʻzgartiradi.
Mashq
1 How does the graph of y = f(x) + 5 differ from y = f(x)?
Javobni koʻrish
5 birlik yuqoriga surilgan.
2 How does the graph of y = f(x + 2) differ from y = f(x)?
Javobni koʻrish
2 birlik chapga — qavs ichi teskari ishlaydi.
3 The point (1, 6) is on y = f(x). Which point is on y = f(x − 2) + 3?
Javobni koʻrish
(3, 9) — x ga 2 qoʻshiladi, y ga 3.
4 The point (4, −2) is on y = f(x). Which point is on y = −f(x)?
Javobni koʻrish
(4, 2) — x oʻzgarmaydi, y ning ishorasi almashadi.
5 Which transformation leaves the graph of y = x2 unchanged?
Javobni koʻrish
y oʻqiga nisbatan aks ettirish — grafik allaqachon simmetrik.
Key words
- transformationoʻzgartirish
- shift / translatesurmoq / koʻchirmoq
- reflect across… ga nisbatan aks ettirmoq
- units to the rightbirlik oʻngga
- horizontal / verticalgorizontal / vertikal
- the parent functionasosiy funksiya
- leaves it unchangedoʻzgarishsiz qoldiradi
- corresponding pointmos nuqta
- symmetricsimmetrik
- flippedagʻdarilgan
Esda qoladigan uch narsa
- Qavs ichi — gorizontal va teskari; qavsdan tashqarisi — vertikal va toʻgʻri.
- −f(x) x oʻqiga, f(−x) y oʻqiga nisbatan aks ettiradi.
- Ishonchli usul — bitta nuqtani kuzatish.