SAT-63: Margin of Error and Confidence Intervals
Natija bitta son emas, oraliq. Kattaroq tanlanma oraliqni toraytiradi, yuqoriroq ishonch esa kengaytiradi.
SAT-63: Margin of Error and Confidence Intervals
SAT-60 da oraliq gʻoyasini koʻrdik. Endi uni toʻliq ochamiz, chunki SAT undan uch xil savol yasaydi: oraliqni hisoblash, uni oʻqish va nima uni toraytirishini bilish.
Bu darsdan keyin siz
- oraliqni bir qadamda yozasiz;
- nima uni toraytirishini va nima kengaytirishini bilasiz;
- ikki oraliq kesishsa nima deyish mumkinligini aytasiz;
- xatolik chegarasi nimani qamramasligini bilasiz.
Oraliqni yozish
Nima oraliqni oʻzgartiradi
| Oʻzgarish | Oraliqqa taʼsiri |
|---|---|
| tanlanma hajmi oshadi | torayadi |
| ishonch darajasi oshadi (95 dan 99 ga) | kengayadi |
| tanlanma ogʻishgan | hech qanday — u boshqa muammo |
Uchinchi qator eng muhimi. Xatolik chegarasi faqat tasodifiy oʻzgaruvchanlikni qamraydi. Tanlanma notoʻgʻri olingan boʻlsa, oraliq tor boʻlishi mumkin va baribir notoʻgʻri joyda turadi.
Ikki oraliqni taqqoslash
Ikki natijaning oraliqlari kesishsa, farqni ishonchli deb boʻlmaydi — haqiqiy qiymatlar teng boʻlishi ham mumkin. Kesishmasa, farq haqiqiy.
Oraliqdan natijani qaytarish
Savol teskari tomonga ham beriladi: oraliq berilib, natija va chegara soʻraladi. Ikkalasi ham bitta qadamda chiqadi.
Diqqat qiling: xatolik chegarasi foizda berilsa, u foiz punktlarida oʻlchanadi. «52 foiz, chegara 3 foiz» degani 52 ning 3 foizi (1.56) emas, balki 3 punkt — yaʼni 49 dan 55 gacha. Bu SAT'da tez-tez chalkashtiriladi.
Nihoyat, chegara butun sonlar haqida ham beriladi, faqat foiz emas: «oʻrtacha 42 daqiqa, chegara 5 daqiqa» degani 37 dan 47 gacha. Amal bir xil — oʻqish esa diqqatliroq boʻlishi kerak, chunki birlik oʻzgargan.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- margin of errorxatolik chegarasi
- confidence intervalishonch oraliqi
- plausible valuesehtimoliy qiymatlar
- most likely to reduce the margin of errorchegarani eng koʻp kamaytiradi
- the intervals overlaporaliqlar kesishadi
- 95 percent confidence95 foizli ishonch
SAT savollari
SAT-style question 50 s
A poll of a random sample estimates 38% support with a margin of error of 2.5%. Which interval contains the plausible values?
- 35.5% to 40.5%
- 38% to 40.5%
- 35.5% to 38%
- 36% to 40%
Yechimni koʻrish
Javob: A) 35.5% to 40.5%
Ikki tomonga ham 2.5 foizdan.
Oraliqning kengligi 5 — chegaraning ikki barobari.
SAT-style question 55 s
A researcher wants to reduce the margin of error in a future study. Which change is most likely to achieve this?
- Increasing the sample size
- Increasing the confidence level
- Asking simpler questions
- Repeating the same study
Yechimni koʻrish
Javob: A) Increasing the sample size
Kattaroq tanlanma — kichikroq tasodifiy oʻzgaruvchanlik.
Ishonch darajasini oshirish teskari ishlaydi: 99 foizli ishonch 95 foizlidan kengroq oraliq beradi.
Uch qoidani yodda tuting:
- Oraliq = natija ± chegara, kengligi chegaraning ikki barobari;
- Hajm oshsa torayadi, ishonch oshsa kengayadi;
- Kesishgan oraliqlar farqni isbotlamaydi.
Va tortdan tashqari: chegara ogʻishni qamramaydi.
52% ± 3 → 52 dan 55 gacha
49 dan 55 gacha
Chegara ikkala tomonga ham qoʻllanadi.
Ishonchni 99 foizga oshirsak oraliq torayadi
Kengayadi
Koʻproq ishonch uchun koʻproq qiymatni qamrash kerak.
Mashq
1 A poll reports 61% with a margin of error of 4%. What is the interval?
Javobni koʻrish
57% dan 65% gacha.
2 An interval runs from 44% to 52%. What were the estimate and the margin?
Javobni koʻrish
48% va 4% — oʻrtasi va yarim kenglik.
3 Does raising the confidence level from 95% to 99% widen or narrow the interval?
Javobni koʻrish
Kengaytiradi.
4 Two results are 30% ± 3 and 34% ± 3. Can we say they differ?
Javobni koʻrish
Yoʻq — 27–33 va 31–37 kesishadi.
5 Does a small margin of error mean the sample was well chosen?
Javobni koʻrish
Yoʻq — chegara ogʻishni umuman oʻlchamaydi.
Key words
- margin of errorxatolik chegarasi
- confidence intervalishonch oraliqi
- confidence levelishonch darajasi
- plausible valuesehtimoliy qiymatlar
- overlapkesishmoq
- estimatebaho, taxminiy qiymat
- narrow / widentoraymoq / kengaymoq
- random variationtasodifiy oʻzgaruvchanlik
- does not account for… ni qamramaydi
- a majoritykoʻpchilik (50 foizdan koʻp)
Esda qoladigan uch narsa
- Oraliq = natija ± chegara, ikkala tomonga ham.
- Hajm oshsa torayadi; ishonch oshsa kengayadi.
- Chegara ogʻishni qamramaydi — u faqat tasodifni oʻlchaydi.