SAT-71: Special Right Triangles — 45-45-90
Teng yonli toʻgʻri burchakli uchburchak: katetlar teng, gipotenuza esa katetning √2 barobari. Bu nisbat varaqda bor.
SAT-71: Special Right Triangles — 45-45-90
Bu uchburchakni siz allaqachon koʻrgansiz: SAT-69 dagi teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi toʻgʻri burchak boʻlsa, aynan shu chiqadi. Va uning nisbati formula varagʻida chizma bilan berilgan.
VARAQDA BOR: 45-45-90 uchburchagi, tomonlari x, x, x√2 deb belgilangan chizma bilan.
Demak nisbatni yodlash shart emas — lekin uni chizmaga toʻgʻri qoʻyish kerak, va varaqni ochib qarash vaqt oladi. Tanib olgan oʻquvchi 20 soniya tejaydi.
Bu darsdan keyin siz
- ikki katet teng ekanini darrov koʻrasiz;
- katetdan gipotenuzani koʻpaytirib topasiz;
- gipotenuzadan katetni boʻlib topasiz;
- kvadrat diagonalini bir qadamda yozasiz.
Ikki yoʻnalish
Kvadrat diagonali
Kvadratning diagonali uni ikkita 45-45-90 uchburchagiga boʻladi, va tomonlar katet boʻlib qoladi. Demak diagonal = tomon × √2. Tomoni 6 boʻlgan kvadratning diagonali 6√2, taxminan 8.49.
Kvadrat ichidagi uchburchak
SAT bu uchburchakni koʻpincha yolgʻiz bermaydi. U kvadrat, toʻgʻri toʻrtburchak yoki teng yonli uchburchak ichida yashiringan boʻladi, va birinchi ish uni koʻrish.
| Shakl | 45-45-90 qayerda |
|---|---|
| kvadrat | diagonal ikkita hosil qiladi |
| teng yonli toʻgʻri burchakli uchburchak | shaklning oʻzi |
| toʻgʻri toʻrtburchak | faqat kvadrat boʻlganda |
Uchinchi qator eʼtiborni talab qiladi: har qanday toʻrtburchakning diagonali 45-45-90 bermaydi — faqat tomonlari teng boʻlganda.
Yuza va perimetr
Bu uchburchakning yuzasi ham oson: ikki katet teng, va toʻgʻri burchakli uchburchakda ular asos va balandlik boʻlib xizmat qiladi. Katet 6 boʻlsa, yuza 6 marta 6 ning yarmi — yaʼni 18.
Perimetri esa ikki katet va gipotenuza: 6 + 6 + 6√2, yaʼni 12 + 6√2 ≈ 20.49. SAT baʼzan perimetrni ildiz koʻrinishida qoldirishni soʻraydi, va javob variantlari aynan shu shaklda beriladi.
Nihoyat, bu uchburchak yarim kvadrat ekanini eslang. Kvadratni diagonal boʻylab kessangiz ikkita bir xil 45-45-90 hosil boʻladi, va ularning yuzasi kvadratning yarmi. Shuning uchun tomoni 8 boʻlgan kvadrat kesilganda har bir uchburchakning yuzasi 32 boʻladi — 64 ning yarmi.
Va bir amaliy eslatma: √2 ni oʻnli kasrga aylantirish kerak boʻlsa, 1.41 yetarli. Kalkulyator aniqroq beradi, lekin SAT javob variantlari odatda bir-biridan ancha uzoq turadi — 7√2 ni 9.9 deb baholash toʻgʻri variantni tanlash uchun kifoya.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- an isosceles right triangleteng yonli toʻgʻri burchakli uchburchak
- the diagonal of a squarekvadratning diagonali
- in simplest radical formeng sodda ildiz koʻrinishida
- the legs are congruentkatetlar teng
- to the nearest tenthoʻndan bir aniqlikda
SAT savollari
SAT-style question 45 s
In a 45-45-90 triangle, each leg measures 7. What is the length of the hypotenuse?
- 7√2
- 14
- 7 ÷ √2
- 49√2
Yechimni koʻrish
Javob: A) 7√2
Nisbat x : x : x√2, demak gipotenuza katetning √2 barobari.
Tekshiruv: 49 + 49 = 98, va √98 = 7√2 ✓
SAT-style question 60 s
A square has a diagonal of length 8. What is the length of each side?
- 4√2
- 8√2
- 4
- 16
Yechimni koʻrish
Javob: A) 4√2
Diagonal gipotenuza: 8 ÷ √2 = 4√2 ≈ 5.66.
Tekshiruv: 4√2 kvadratga koʻtarilsa 32; ikkitasi 64, va √64 = 8 ✓
Har safar bitta savol bering: izlanayotgani gipotenuzami?
- Ha boʻlsa — katetni √2 ga koʻpaytiring;
- Yoʻq boʻlsa — gipotenuzani √2 ga boʻling;
- Javobni oʻlchamga qarab tekshiring: gipotenuza uzunroq.
√2 ≈ 1.41 ni yodda tuting — u javob variantlarini taqqoslashda yordam beradi.
Katet 7 → gipotenuza 14
7√2 ≈ 9.9
Katetlar qoʻshilmaydi; nisbat √2 barobar.
Diagonal 8 → tomon 8√2
8 ÷ √2 = 4√2
Gipotenuzadan katetga oʻtganda boʻlinadi.
Mashq
1 A 45-45-90 triangle has legs of 5. What is the hypotenuse?
Javobni koʻrish
5√2.
2 A 45-45-90 triangle has a hypotenuse of 6√2. What is each leg?
Javobni koʻrish
6 — √2 ga boʻlinadi.
3 A square has side 9. What is its diagonal?
Javobni koʻrish
9√2.
4 A square has diagonal 10. What is its area?
Javobni koʻrish
50 — tomoni 10 ÷ √2 = 5√2, va uning kvadrati 50.
5 Why are the two acute angles in this triangle always 45°?
Javobni koʻrish
Katetlar teng, demak ularga qarshi burchaklar teng; 180 − 90 ni ikkiga boʻling.
Key words
- isosceles right triangleteng yonli toʻgʻri burchakli
- legkatet
- hypotenusegipotenuza
- diagonaldiagonal
- congruent legsteng katetlar
- simplest radical formeng sodda ildiz koʻrinishi
- the ratio of the sidestomonlar nisbati
- reference sheetformula varagʻi
- rationalizemaxrajni ildizdan tozalash
- approximatelytaxminan
Esda qoladigan uch narsa
- Nisbat x : x : x√2 — va u varaqda bor.
- Katetdan gipotenuzaga koʻpaytiring, teskarisiga boʻling.
- Kvadrat diagonali = tomon × √2.