SAT-74: Congruent Triangles and Area/Perimeter Scaling
Oʻlchamni k barobar oshirsangiz, perimetr k barobar, yuza esa k kvadrat barobar oshadi. Bu farq SAT'ning sevimli tuzogʻi.
SAT-74: Congruent Triangles and Area/Perimeter Scaling
SAT-73 da oʻxshashlikni koʻrdik. Endi undan chiqadigan eng foydali natija: shaklni ikki barobar kattalashtirsangiz, yuzasi toʻrt barobar oshadi. Bu bir qarashda gʻalati tuyuladi, va SAT shundan tuzoq yasaydi.
VARAQDA YOʻQ: tenglik belgilari ham, masshtab qoidalari ham. Varaqda faqat oddiy yuza formulalari bor — masshtab bilan nima boʻlishini bilish kerak.
Bu darsdan keyin siz
- tenglik va oʻxshashlikni ajratasiz;
- perimetr va yuza masshtabda qanday oʻzgarishini aytasiz;
- yuzalar nisbatidan uzunliklar nisbatini chiqarasiz;
- hajm uchun ham qoidani qoʻllaysiz.
Nima uchun kvadrat
Yuza ikkita uzunlikni koʻpaytirish orqali chiqadi. Ikkalasi ham k barobar oshsa, koʻpaytma k × k barobar oshadi. Hajmda uchta uzunlik bor, shuning uchun u k3 barobar oshadi.
| Masshtab | Perimetr | Yuza | Hajm |
|---|---|---|---|
| 2 barobar | ×2 | ×4 | ×8 |
| 3 barobar | ×3 | ×9 | ×27 |
| yarmiga | ×0.5 | ×0.25 | ×0.125 |
Teskari yoʻnalish
Yuzalar nisbati berilib, uzunliklar nisbati soʻralishi mumkin. U holda ildiz olinadi: yuzalar nisbati 25 boʻlsa, uzunliklar nisbati 5.
Tenglik
Ikki uchburchak teng (congruent) boʻlsa, ular bir xil shakl va bir xil oʻlchamda — masshtab koeffitsienti 1. Ular burilgan yoki aks ettirilgan boʻlishi mumkin, lekin hamma tomon va burchak mos keladi.
Xarita va model masshtabi
Qoida kundalik hayotda ham ishlaydi. Xaritada masofa 1 dan 50,000 gacha kichraytirilgan boʻlsa, yuza 1 dan 2,500,000,000 gacha kichraygan. Shuning uchun kichkina xaritada juda katta maydon sigʻadi.
Model uchun ham shunday: haqiqiy samolyotning 1 dan 100 gacha modeli uzunligi yuz barobar kichik, sirti oʻn ming barobar kichik va hajmi bir million barobar kichik. SAT bu savolni «how many times» shaklida beradi va javob deyarli har doim kvadrat yoki kub boʻladi.
Nima oʻzgarmaydi
Masshtab hamma narsani oʻzgartirmaydi. Burchaklar oʻsha-oʻsha qoladi — shakl bir xil boʻlgani uchun. Shuningdek, ikki tomonning oʻzaro nisbati ham saqlanadi: 3 ga 4 nisbat kattalashtirilganda ham 3 ga 4 boʻlib qoladi.
Shuning uchun oʻxshash shakllarda sinus, kosinus va tangens ham oʻzgarmaydi (SAT-75) — ular nisbat, va nisbat masshtabga bogʻliq emas.
Bir ogohlantirish: qoida oʻxshash shakllarga tegishli. Bir toʻrtburchakning faqat eni ikki barobar oshirilsa, u oldingisiga oʻxshash emas — shakl oʻzgargan. Bunday holda yuza atigi ikki barobar oshadi, toʻrt emas. Masshtab degani hamma oʻlchamni bir xil koeffitsientga koʻpaytirish.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- congruentteng (bir xil shakl va oʻlcham)
- the scale factormasshtab koeffitsienti
- the ratio of their areasyuzalari nisbati
- is enlarged by a factor of 33 barobar kattalashtirilgan
- how many times greaternecha barobar katta
SAT savollari
SAT-style question 50 s
A rectangle is enlarged by a scale factor of 3. How many times greater is its area?
- 9
- 3
- 6
- 27
Yechimni koʻrish
Javob: A) 9
Yuza k2 barobar oshadi: 32.
Tekshiruv: 2 ga 5 toʻrtburchak yuzasi 10; 6 ga 15 niki 90 ✓
SAT-style question 65 s
Two similar triangles have areas of 16 and 144. What is the ratio of their perimeters?
- 1 to 3
- 1 to 9
- 1 to 12
- 1 to 128
Yechimni koʻrish
Javob: A) 1 to 3
Yuzalar nisbati 9, demak uzunliklar nisbati √9 = 3.
Perimetr uzunlik — u ham 3 barobar farq qiladi.
Har safar bitta savol: soʻralayotgani necha oʻlchovli?
- Uzunlik, perimetr, balandlik — bir oʻlchovli, k;
- Yuza, sirt — ikki oʻlchovli, k2;
- Hajm — uch oʻlchovli, k3.
Teskari savolda esa mos ildizni oling: yuzadan uzunlikka kvadrat ildiz, hajmdan uzunlikka kub ildiz.
Masshtab 3 → yuza 3 barobar
9 barobar
Yuza ikkita uzunlikdan tuzilgan.
Yuzalar nisbati 9 → perimetrlar nisbati 9
3
Perimetr uzunlik — ildiz olinadi.
Mashq
1 A shape is enlarged by a factor of 4. How many times greater is its area?
Javobni koʻrish
16 barobar.
2 Two similar shapes have areas 4 and 100. What is the ratio of their lengths?
Javobni koʻrish
1 dan 5 gacha — √25.
3 A cube's side is doubled. How many times greater is its volume?
Javobni koʻrish
8 barobar.
4 Two similar triangles have perimeters 12 and 30. What is the ratio of their areas?
Javobni koʻrish
4 dan 25 gacha — uzunliklar nisbati 2.5, va uning kvadrati 6.25.
5 Is SSA a valid test for congruence?
Javobni koʻrish
Yoʻq — ikki xil uchburchak hosil boʻlishi mumkin.
Key words
- congruentteng
- scale factormasshtab koeffitsienti
- enlarged by a factor of… barobar kattalashtirilgan
- the ratio of the areasyuzalar nisbati
- surface areasirt yuzasi
- volumehajm
- how many times greaternecha barobar katta
- corresponding partsmos qismlar
- reflected / rotatedaks ettirilgan / burilgan
- square rootkvadrat ildiz
Esda qoladigan uch narsa
- Uzunlik k, yuza k2, hajm k3.
- Teskari yoʻnalishda ildiz oling.
- SSA tenglik belgisi emas.