SAT-76: Trigonometric Identities — sin(x) = cos(90° − x)
Toʻgʻri burchakli uchburchakda ikki oʻtkir burchak 90 ga toʻldiradi — va shundan birining sinusi ikkinchisining kosinusiga teng.
SAT-76: Trigonometric Identities — sin(x) = cos(90° − x)
SAT-75 ning oxirida bir narsa koʻrindi: 3-4-5 uchburchagida bitta burchakning sinusi ikkinchisining kosinusiga teng chiqdi. Bu tasodif emas — bu ayniyat, va uni chizmadan bir qatorda koʻrish mumkin.
VARAQDA YOʻQ: hech qanday trigonometrik ayniyat. Lekin bu darsdagi ikkala ayniyat ham chiqarib olinadi — biri burchaklar yigʻindisidan, ikkinchisi Pifagordan.
Bu darsdan keyin siz
- toʻldiruvchi burchak ayniyatini yozasiz;
- uni chizmadan chiqarib olasiz, yodlamasdan;
- sin² + cos² = 1 ni Pifagordan olasiz;
- SAT'ning «if sin A = …, what is cos B» savolini bir qadamda yechasiz.
Nima uchun toʻgʻri
Toʻgʻri burchakli uchburchakda ikki oʻtkir burchak 90 ga toʻldiradi (SAT-66). Endi bitta tomonga qarang: u bir burchakka qarshi, ikkinchi burchakka esa yondosh. Gipotenuza ikkalasi uchun ham oʻsha-oʻsha.
Ikkinchi ayniyat
Pifagor teoremasini gipotenuzaning kvadratiga boʻling: qarshi va yondosh tomonlarning gipotenuzaga nisbatlari — bu sinus va kosinus. Demak sin² + cos² = 1, har doim.
3-4-5 da tekshiramiz
(3 ÷ 5)² + (4 ÷ 5)² = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1 ✓
SAT savolining shakli
Savol deyarli har doim shunday keladi: «If sin A = 0.6 and A + B = 90, what is cos B?» Javob toʻgʻridan-toʻgʻri 0.6 — hech narsa hisoblanmaydi. Bu savol atigi 10 soniya oladi, agar ayniyat tanilsa.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- complementary anglesyigʻindisi 90 boʻlgan burchaklar
- if x + y = 90x va y toʻldiruvchi boʻlsa
- in terms of xx orqali ifodalang
- which is equivalent toqaysi biri teng kuchli
- the acute angles of a right triangletoʻgʻri burchakli uchburchakning oʻtkir burchaklari
SAT savollari
SAT-style question 35 s
If sin A = 0.6 and A + B = 90°, what is cos B?
- 0.6
- 0.8
- 0.4
- 1.6
Yechimni koʻrish
Javob: A) 0.6
Ayniyat boʻyicha sin A = cos(90 − A) = cos B.
Hech narsa hisoblanmaydi — bu 10 soniyalik savol.
SAT-style question 55 s
In a right triangle, cos A = 5/13. What is sin A?
- 12/13
- 5/13
- 13/5
- 8/13
Yechimni koʻrish
Javob: A) 12/13
Yondosh 5, gipotenuza 13, demak qarshi tomon 12 (5-12-13 uchligi, SAT-70).
Yoki ayniyat bilan: sin² = 1 − 25/169 = 144/169.
Savolni koʻrgach ikki narsani ajrating:
- Ikki burchak haqidami? → sin(x) = cos(90 − x);
- Bitta burchak haqidami? → sin² + cos² = 1, yoki uchburchakni chizing;
- Ikkinchi holda uchlikni tanish koʻpincha tezroq.
sin A = 0.6 → cos B = 0.8
cos B = 0.6
0.8 — bu cos A, boshqa burchakniki emas.
cos A = 5/13 → sin A = 8/13
12/13
Uchinchi tomon 13 − 5 emas; u √(169 − 25).
Tangens ham juftlashadi
Sinus va kosinus oʻrin almashadi. Tangens esa agʻdariladi: qarshi va yondosh joyini almashtirsa, kasr teskarisiga aylanadi.
Tez tekshiruv
tan 45° = 1, chunki 45 oʻzining toʻldiruvchisi va 1 ning teskarisi yana 1. Bu ayniyatning eng qisqa isboti.
Ayniyatni bir marta oʻz koʻzingiz bilan koʻring: sin(30)
va cos(60) ni kiriting — ikkalasi ham 0.5 beradi.
Muhim: avval Desmosni degrees rejimiga oʻtkazing
(sozlamalar tugmasi), aks holda u 30 ni radian deb oʻqiydi va
butunlay boshqa son chiqaradi.
Chegaraviy qiymatlar
Uchburchak chizib boʻlmaydigan ikki burchak — 0° va 90° — SAT'da baʼzan javob variantlarini tekshirishga yordam beradi: sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0. Ayniyat bu yerda ham ishlaydi: sin 0° = cos 90° ✓
Mashq
1 If sin 25° = 0.42, what is cos 65°?
Javobni koʻrish
0.42 — 25 va 65 toʻldiruvchi.
2 If cos x = 0.28, what is sin(90° − x)?
Javobni koʻrish
0.28 — ayniyat teskari yoʻnalishda ham ishlaydi.
3 In a right triangle, sin A = 8/17. What is cos A?
Javobni koʻrish
15/17 — 8-15-17 uchligi.
4 Verify that sin² + cos² = 1 for the 5-12-13 triangle.
Javobni koʻrish
25/169 + 144/169 = 169/169 = 1 ✓
5 Why is sin 45° equal to cos 45°?
Javobni koʻrish
45 oʻzining toʻldiruvchisi: 90 − 45 = 45.
Key words
- identityayniyat
- complementarytoʻldiruvchi (yigʻindisi 90)
- equivalent toteng kuchli
- in terms of… orqali
- acute anglesoʻtkir burchaklar
- reciprocalteskari (nisbat)
- holds for all xbarcha x uchun oʻrinli
- Pythagorean identityPifagor ayniyati
- substituteoʻrniga qoʻymoq
- right triangletoʻgʻri burchakli uchburchak
Esda qoladigan uch narsa
- sin(x) = cos(90 − x) — chizmadan bir qatorda chiqadi.
- sin² + cos² = 1 — bu Pifagorning oʻzi.
- Ikki burchak haqidami yoki bittasi haqidami — avval shuni aniqlang.