SAT-7: Slope-Intercept Form (y = mx + b) in Depth
y = mx + b — SAT'dagi eng koʻp ishlaydigan bitta shakl. m va b ni bir qarashda oʻqish, nuqta va qiyalikdan tenglama tuzish, ikki nuqtadan tenglama chiqarish va tenglamani «y ga yechish» taktikasi.
SAT-7: Slope-Intercept Form (y = mx + b) in Depth
Agar SAT Math'dan bitta shaklni tanlash kerak boʻlsa, bu — y = mx + b. U testda chiziqli tenglama, grafik, jadval va matnli masalada bir xil koʻrinishda chiqadi va deyarli har doim ikkita savolga javob beradi: qanchalik tez oʻzgaradi va qayerdan boshlandi.
Bu darsdan keyin siz
- tenglamadan m va b ni bir qarashda oʻqiysiz;
- nuqta va qiyalikdan tenglama tuzasiz;
- ikki nuqtadan tenglamaga oʻtasiz (avval m, keyin b);
- chalkash koʻrinishdagi tenglamani «y ga yechib», qiyalikni koʻrinadigan qilasiz.
b — chiziq y oʻqini qayerda kesadi
y-intercept — chiziqning y oʻqi bilan kesishgan nuqtasi. U yerda x har doim 0 ga teng, shuning uchun tenglamada mx yoʻqoladi va y = b boʻlib qoladi. Mana shuning uchun b ni «boshlangʻich qiymat» deb oʻqiymiz.
Tenglamadan oʻqish
y = 3x − 5
Qiyalik 3, y-intercept −5. Ishora b bilan birga keladi.
«− 5» degani b = −5, b = 5 emas.
Ehtiyot boʻling: shakl tayyor boʻlmasa, oʻqib boʻlmaydi. 2y = 6x + 8 tenglamasida qiyalik 6 emas: avval ikkala tomonni 2 ga boʻlish kerak, shunda y = 3x + 4 chiqadi va qiyalik 3 ekani koʻrinadi.
Misol 1 (oson) — nuqta va qiyalikdan
A line has a slope of 1/2 and passes through (4, 5). Write its equation.
Misol 2 (oʻrta) — ikki nuqtadan
Through (2, 3) and (6, 11). Ikki qadam: avval qiyalik (SAT-6), keyin b.
Misol 3 (SAT darajasi) — «y ga yeching»
Testda tenglama koʻpincha boshqa koʻrinishda beriladi va savol qiyalikni soʻraydi. Qiyalikni koʻrish uchun y ni yolgʻiz qoldiring.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- slope-intercept formy = mx + b koʻrinishi
- the y-intercept of the linechiziqning y oʻqini kesish nuqtasi (x = 0 da)
- which equation represents the lineqaysi tenglama shu chiziqni ifodalaydi
- in the form y = mx + bjavob shu koʻrinishda boʻlsin
- the graph of the linechiziqning grafigi
SAT savollari
SAT-style question 40 s
A line in the xy-plane has a slope of −4 and passes through the point (0, 9). Which equation represents this line?
- y = −4x − 9
- y = −4x + 9
- y = 4x + 9
- y = 9x − 4
Yechimni koʻrish
Javob: B) y = −4x + 9
Nuqtaning x koordinatasi 0 — demak bu nuqtaning oʻzi y-intercept, hech narsa hisoblash kerak emas: b = 9. Qiyalik berilgan: m = −4.
Shuning uchun y = −4x + 9.
SAT-style question 75 s
A line has a slope of 2 and passes through the point (3, 10). What is the y-intercept of the line?
- 4
- 6
- 10
- 16
Yechimni koʻrish
Javob: A) 4
Boshqacha oʻylash: (3, 10) dan y oʻqigacha 3 qadam chapga yurish kerak, har qadamda 2 birlik pastga — 10 − 6 = 4.
Javoblar tenglama boʻlsa, uzun hisobga kirishmang — ikki filtr yetadi.
- Ishora filtri: qiyalik musbatmi yoki manfiy? Yarim javob oʻchadi.
- b filtri: berilgan nuqtalardan biri (0, …) koʻrinishida boʻlsa, b darhol maʼlum; boʻlmasa, bitta nuqtani har bir javobga qoʻyib koʻring.
Nuqtani qoʻyib tekshirish deyarli har doim tenglama tuzishdan tezroq.
2y = 6x + 8 → qiyalik 6
y = 3x + 4 → qiyalik 3
Shakl «tayyor» boʻlmaguncha m ni oʻqib boʻlmaydi: chap tomonda yolgʻiz y turishi shart.
y = 3x − 5 → b = 5
y = 3x − 5 → b = −5
Ishora had bilan birga yuradi. b = −5, shuning uchun chiziq y oʻqini nol ostida kesadi.
Mashq
1 What is the slope of the line y = −x + 8?
Javobni koʻrish
−1 — x oldida son koʻrinmasa, u yerda 1 turadi; minus bilan birga −1. Qiyalik 8 emas: 8 — bu b.
2 Write the equation of the line with slope 5 that passes through (0, −2).
Javobni koʻrish
y = 5x − 2 — nuqtaning x koordinatasi 0, demak u nuqtaning oʻzi y-intercept: b = −2.
3 A line with slope 3 passes through (2, 9). What is b?
Javobni koʻrish
3 — 9 = 3(2) + b → 9 = 6 + b → b = 3. Tekshiruv: y = 3x + 3 da x = 2 boʻlsa y = 9 ✓
4 What is the slope of the line 4x + 2y = 10?
Javobni koʻrish
−2 — y ga yechamiz: 2y = −4x + 10 → y = −2x + 5. Qiyalik −2, y-intercept 5.
5 A summer pass costs $40, and each visit to the pool costs $3 more. Write an equation for the total cost y after x visits, and find the cost of 12 visits.
Javobni koʻrish
y = 3x + 40, va 12 marta borilganda 3(12) + 40 = $76. Bir martalik $40 — bu b, har safargi $3 — bu m.
Key words
- slope-intercept formy = mx + b koʻrinishi
- y-intercepty oʻqini kesish nuqtasi (x = 0 da)
- x-interceptx oʻqini kesish nuqtasi (y = 0 da)
- coefficient of xx oldidagi son — qiyalik
- solve for yy ni yolgʻiz qoldirish
- representsifodalaydi
- initial valueboshlangʻich qiymat — b
- substituteoʻrniga qoʻyish
- graph of the linechiziqning grafigi
- equation of the linechiziqning tenglamasi
Esda qoladigan uch narsa
- m — x oldidagi son, b — yolgʻiz turgan son, va ikkalasi ham ishorasi bilan olinadi.
- Shakl tayyor boʻlmasa, avval y ga yeching — hamma hadni boʻling.
- Nuqta (0, …) koʻrinishida boʻlsa, b darhol maʼlum: hech narsa hisoblamang.