SAT-8: Point-Slope Form and Standard Form
Chiziqning yana ikki koʻrinishi: nuqta-qiyalik shakli (b ni topmasdan tenglama yozish) va standart shakl Ax + By = C (kesishmalarni bir zumda beradi). Qaysi biri qachon tezroq.
SAT-8: Point-Slope Form and Standard Form
Bitta chiziqni uch xil yozish mumkin, va uchalasi ham bir xil chiziqni bildiradi. Ular oʻrtasidagi farq — qaysi maʼlumot koʻrinib turishi. SAT buni biladi va savolni ataylab «notoʻgʻri» shaklda beradi, chunki shaklni almashtira olmagan oʻquvchi vaqtini yoʻqotadi.
Bu darsdan keyin siz
- nuqta va qiyalikdan darhol tenglama yozasiz — b ni topmasdan;
- standart shakldan ikkala kesishmani bir amalda topasiz;
- standart shaklning qiyaligini hisoblamasdan aytasiz;
- uch shakl orasida erkin oʻtasiz.
Nuqta-qiyalik shakli — nega u umuman bor
SAT-7 da nuqta va qiyalikdan tenglama tuzish uchun avval b ni topdik. Point-slope shakli shu qadamni tashlab ketadi: nuqta va qiyalik bor ekan, tenglamani toʻgʻridan-toʻgʻri yozasiz.
Standart shakl — Ax + By = C
Bu shaklda x va y bir tomonda, son ikkinchi tomonda turadi. Uning kuchli tomoni — kesishmalar. Kesishmani topish uchun qarama-qarshi harfni nolga tenglashtiring:
x-intercept
y = 0 qoʻying. 4x + 3(0) = 24 → 4x = 24 → x = 6.
Nuqta: (6, 0).
y-intercept
x = 0 qoʻying. 4(0) + 3y = 24 → 3y = 24 → y = 8.
Nuqta: (0, 8).
Standart shaklning qiyaligi — hisoblamasdan
Ax + By = C koʻrinishidagi chiziqning qiyaligi har doim −A ÷ B ga teng.
Tekshiramiz: 4x + 3y = 24 ni y ga yechsak, y = −(4/3)x + 8 — haqiqatan ham qiyalik −4/3, yaʼni −A ÷ B. Bu qoidani bilgan oʻquvchi «qiyaligi qancha?» degan savolga 3 soniyada javob beradi.
Shakldan shaklga oʻtish
y = 2x − 5 → 2x − y = 5
Standart shaklga: x va y ni bir tomonga, sonni ikkinchi tomonga.
Ikkala tomondan y ni ayirdik va 5 ni qoʻshdik.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- point-slope formnuqta-qiyalik shakli: y − y₁ = m(x − x₁)
- standard formstandart shakl: Ax + By = C
- the x-intercept of the graphgrafikning x oʻqini kesish nuqtasi (y = 0)
- where A, B, and C are constantsA, B va C — sonlar
- an equivalent equationteng kuchli tenglama — oʻsha chiziq, boshqa shakl
SAT savollari
SAT-style question 45 s
A line passes through the point (5, −1) and has a slope of 2. Which equation represents this line in point-slope form?
- y + 1 = 2(x − 5)
- y + 5 = 2(x − 1)
- y − 1 = 2(x + 5)
- y − 1 = 2(x − 5)
Yechimni koʻrish
Javob: A) y + 1 = 2(x − 5)
Formulaga qoʻyamiz: y − (−1) = 2(x − 5). Chap tomonda ikki minus qoʻshiluvga aylandi: y + 1.
Tekshirish: x = 5 qoʻyilsa oʻng tomon 0 boʻladi, demak y + 1 = 0 va y = −1 — berilgan nuqtaning oʻzi ✓
SAT-style question 60 s
3x + 5y = 45
What is the x-intercept of the graph of the equation above in the xy-plane?
- 5
- 9
- 15
- 45
Yechimni koʻrish
Javob: C) 15
9 — bu y-intercept (45 ÷ 5). Ikkalasi ham javoblar orasida turibdi: savol qaysi kesishmani soʻraganini oʻqing.
Chiziq savolida shaklga qarab qurol tanlang:
- Nuqta + qiyalik berilgan → point-slope, bir qatorda tugaydi.
- Ax + By = C berilgan va kesishma soʻralgan → qarama-qarshi harfga 0 qoʻying.
- Ax + By = C berilgan va qiyalik soʻralgan → −A ÷ B, hisob yoʻq.
- Grafik yoki y-intercept soʻralgan → y ga yeching (SAT-7).
3x + 5y = 45 ning qiyaligi 3/5
qiyaligi −3/5
Qoida −A ÷ B. Minus tushib qolsa, javob teskari yoʻnalishdagi chiziqni bildiradi.
x-intercept uchun x = 0 qoʻyish
x-intercept uchun y = 0 qoʻyish
x-intercept — x oʻqidagi nuqta, va x oʻqida y nolga teng. Nomi bilan qoʻyiladigan nol qarama-qarshi harfda.
Mashq
1 Write, in point-slope form, the equation of the line through (0, 4) with slope −2.
Javobni koʻrish
y − 4 = −2(x − 0), yaʼni y = −2x + 4. Nuqta y oʻqida turgani uchun ikkala shakl ham oson chiqadi.
2 What is the slope of the line 2x − y = 8?
Javobni koʻrish
2 — qoida boʻyicha −A ÷ B = −2 ÷ (−1) = 2. Tekshiruv: y = 2x − 8 ✓
3 What is the x-intercept of 6x + 2y = 18?
Javobni koʻrish
3 — y = 0 qoʻyamiz: 6x = 18 → x = 3. Nuqta (3, 0).
4 What is the y-intercept of the same line, 6x + 2y = 18?
Javobni koʻrish
9 — x = 0 qoʻyamiz: 2y = 18 → y = 9. Nuqta (0, 9). Eʼtibor bering, bitta tenglama ikki xil javob beradi — savolga qarab.
5 A 60-minute radio show is filled with songs of 2 minutes each and interviews of 5 minutes each. If the show has 4 interviews, how many songs does it have?
Javobni koʻrish
20 ta — model 2s + 5i = 60 (standart shakl). i = 4 boʻlsa: 2s + 20 = 60 → 2s = 40 → s = 20.
Key words
- point-slope formnuqta-qiyalik shakli
- standard formstandart shakl: Ax + By = C
- interceptkesishma nuqtasi
- equivalent equationteng kuchli tenglama
- rearrangeshaklni oʻzgartirish
- constants A, B, CA, B, C — sonlar
- set y equal to zeroy ni nolga tenglashtiring
- expand the bracketsqavsni oching
- whole numberbutun son (sanaladigan miqdorlarda)
- in the xy-planekoordinata tekisligida
Esda qoladigan uch narsa
- Nuqta va qiyalik bor ekan, point-slope bir qatorda tenglama beradi — b ni izlash shart emas.
- Standart shaklda kesishma uchun qarama-qarshi harfga 0 qoʻying.
- Standart shaklning qiyaligi — −A ÷ B, minus bilan.