SAT-4: Understanding Absolute Value Equations
Modul — noldan uzoqlik. Shuning uchun |x| = 7 ning ikkita yechimi bor. Modulni izolyatsiya qilish, ikki holatga ajratish va SAT juda yaxshi koʻradigan «yechimlar yigʻindisi» savoli.
SAT-4: Understanding Absolute Value Equations
Modul (absolute value) — SAT'da har testda bir-ikki marta uchraydigan, oʻrganish oson va xato qilish undan ham oson mavzu. Butun sir bitta jumlada: modul — sonning noldan uzoqligi, uzoqlik esa hech qachon manfiy boʻlmaydi. Shundan «ikki yechim» qoidasi ham, «yechim yoʻq» holati ham oʻz-oʻzidan kelib chiqadi.
Bu darsdan keyin siz
- |x| ni «noldan uzoqlik» deb oʻqiysiz va nega ikkita javob borligini tushunasiz;
- |ax + b| = c ni ikki oddiy tenglamaga ajratasiz;
- modulni avval yolgʻiz qoldirishni (izolyatsiya) unutmaysiz;
- yechimi yoʻq holatni bir qarashda tanib olasiz va vaqt tejaysiz.
Modul — uzoqlik, ishora emas
|7| = 7 va |−7| = 7. Ikkalasi ham noldan yetti qadam uzoqlikda. Shuning uchun «|x| = 7» degan savol aslida shuni soʻraydi: «qaysi sonlar noldan yetti qadam uzoqlikda?» Javob ikkita: 7 va −7.
Xuddi shu mantiq ichkarida ifoda turganda ham ishlaydi. |x − 4| = 6 — «x soni 4 dan olti qadam uzoqlikda» degani. Chapga ham, oʻngga ham olti qadam:
Ikkala nuqta ham 4 dan aynan 6 qadam narida: 4 − 6 = −2 va 4 + 6 = 10. Demak yechimlar x = −2 va x = 10.
Usul: ikki tenglamaga ajratish
|A| = c koʻrinishidagi tenglama ikkita oddiy tenglamaga ajraladi: A = c va A = −c. Har birini alohida yechasiz.
Tekshiramiz
|2 · 4 + 1| = |9| = 9 ✓ va |2 · (−5) + 1| = |−9| = 9 ✓ — ikkala yechim ham toʻgʻri.
Avval modulni yolgʻiz qoldiring
Agar modul oldida son yoki yonida qoʻshiluvchi boʻlsa, ikkiga ajratishdan oldin uni yolgʻiz qoldirish kerak. Bu — eng koʻp yoʻqotiladigan qadam.
3|x − 2| + 4 = 16 → 3(x − 2) + 4 = 16 va 3(x − 2) + 4 = −16
Avval izolyatsiya: |x − 2| = 4, keyin x − 2 = ±4
Ikkiga ajratish qoidasi faqat modul yolgʻiz turganda ishlaydi. Aks holda ikkinchi tenglama butunlay notoʻgʻri chiqadi.
Qachon yechim yoʻq
|x + 3| = −5 — bu savolni yechishning hojati yoʻq. Uzoqlik manfiy boʻlmaydi, demak no solution. SAT bu holatni tez javob beriladigan «sovgʻa» savol sifatida ishlatadi: modul yolgʻiz qolgach oʻng tomonda manfiy son tursa, javob shu.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- the positive solutionmusbat yechim — ikkitasidan musbatini yozing
- the sum of the solutionsyechimlar yigʻindisi — ikkalasini qoʻshing
- how many solutionsnechta yechim bor — 0, 1 yoki 2
- the distance between x and 4 is 6|x − 4| = 6 ning soʻz bilan aytilishi
- which value of x satisfiesqaysi qiymat tenglamani qanoatlantiradi
SAT savollari
SAT-style question 60 s
If |2x − 5| = 11, what is the positive value of x?
- −3
- 3
- 8
- 16
Yechimni koʻrish
Javob: C) 8
Ikkala yechim ham javoblar orasida turibdi — savolning oxirgi soʻzi qaysi birini belgilashni hal qiladi.
SAT-style question 75 s
In the equation |x − 4| = 6, what is the sum of all possible values of x?
- −2
- 8
- 10
- 12
Yechimni koʻrish
Javob: B) 8
x − 4 = 6 → x = 10; x − 4 = −6 → x = −2. Yigʻindi: 10 + (−2) = 8.
Yuqoridagi sonlar oʻqiga qarang: ikki yechim 4 dan bir xil uzoqlikda turibdi, demak ularning oʻrtasi — aynan 4. Shuning uchun yigʻindi har doim 2 × 4 = 8 ga teng boʻladi, ichkaridagi 6 qanday boʻlishidan qatʼi nazar.
|x − a| = b koʻrinishidagi tenglamada:
- yechimlar yigʻindisi har doim 2a — hisoblamasdan yozish mumkin;
- yechimlar orasidagi masofa har doim 2b;
- yechimlarning oʻrtasi — a ning oʻzi.
SAT «sum of the solutions» ni tez-tez soʻraydi; bu uch qatorni bilgan oʻquvchi savolni 10 soniyada yopadi.
|x| = 7 → x = 7
|x| = 7 → x = 7 yoki x = −7
Bitta javob bilan toʻxtash — bu mavzudagi eng koʻp uchraydigan xato. Modul bor joyda «ikkita» deb oʻylang.
Mashq
1 Solve: |x + 2| = 9
Javobni koʻrish
x = 7 yoki x = −11 — x + 2 = 9 va x + 2 = −9.
2 Solve: |3x| = 12
Javobni koʻrish
x = 4 yoki x = −4 — 3x = 12 va 3x = −12.
3 How many solutions does |x − 1| = −4 have?
Javobni koʻrish
Bittasi ham yoʻq (no solution) — modul manfiy qiymat qabul qilmaydi, chunki u uzoqlikni bildiradi.
4 Solve: 2|x + 1| − 3 = 7
Javobni koʻrish
x = 4 yoki x = −6 — avval izolyatsiya: 2|x + 1| = 10 → |x + 1| = 5, keyin x + 1 = ±5.
5 A machine fills bottles with 500 ml. A bottle passes inspection if the difference between its volume v and 500 ml is at most 8 ml, written |v − 500| = 8 at the limit. What are the two limit volumes?
Javobni koʻrish
492 ml va 508 ml — v − 500 = 8 va v − 500 = −8. Modul real hayotda deyarli har doim «meʼyordan chetlanish» maʼnosida keladi.
Key words
- absolute valuemodul; noldan uzoqlik
- distance from zeronoldan uzoqlik — modulning taʼrifi
- solution(s)yechim(lar); modulda odatda ikkita
- the sum of the solutionsyechimlar yigʻindisi
- positive / negativemusbat / manfiy
- no solutionyechimi yoʻq
- isolateyolgʻiz qoldirish (modulni bir tomonda)
- satisfies the equationtenglamani qanoatlantiradi
- at mostkoʻpi bilan; ≤ (tengsizlik — SAT-22)
- differenceayirma
Esda qoladigan uch narsa
- Modul — uzoqlik. Shuning uchun |A| = c ikkita tenglamaga ajraladi: A = c va A = −c.
- Ikkiga ajratishdan oldin modulni yolgʻiz qoldiring.
- Modul yolgʻiz qolgach oʻng tomonda manfiy son tursa — no solution, hisoblashning hojati yoʻq.