SAT-5: The Concept of Slope: Steepness and Direction
Qiyalik — chiziqning tikligi va yoʻnalishi: rise ÷ run. Grafikdan, jadvaldan va tenglamadan oʻqish, ishorasining maʼnosi va SAT'ning eng sevimli savoli: «bu son kontekstda nimani bildiradi?»
SAT-5: The Concept of Slope: Steepness and Direction
Qiyalik (slope) — SAT Math'dagi eng koʻp «ishlaydigan» bitta tushuncha. U chiziqli grafiklarda ham, matnli masalalarda ham, jadvalli savollarda ham chiqadi va deyarli har testda kamida bitta savol shunday yangraydi: «What does the 15 represent in this context?» Bu darsda formulani emas, avvalo maʼnosini oʻrnatamiz.
Bu darsdan keyin siz
- qiyalikni «bir qadam oʻngga yurganda necha qadam koʻtarilamiz» deb oʻqiysiz;
- grafikdan va jadvaldan qiyalikni sanaysiz;
- ishorasidan chiziqning yoʻnalishini aytasiz (musbat, manfiy, nol, aniqlanmagan);
- qiyalikning kontekstdagi maʼnosini tushuntirasiz — SAT'ning sevimli savoli.
Qiyalik nimani bildiradi
Rise — yuqoriga koʻtarilish (y ning oʻzgarishi), run — oʻngga yurish (x ning oʻzgarishi). Qiyalik — bu ikkisining nisbati, yaʼni bir qadam oʻngga yurganda y qancha oʻzgaradi. Pastdagi chiziqda oʻngga 4 qadam yurganda 8 birlik koʻtarildik, demak har bir qadamga 2 birlik: m = 8 ÷ 4 = 2.
Ishora — chiziqning yoʻnalishi
Positive slope (m > 0)
Chap tomondan oʻngga qarab koʻtariladi. Kontekstda: miqdor ortib boradi — tejalgan pul, oʻsgan boʻy, yigʻilgan ochko.
Negative slope (m < 0)
Oʻngga qarab pasayadi. Kontekstda: kamayish — bakdagi suv, qolgan masofa, sovuyotgan choy.
- m = 0 — gorizontal chiziq. y hech oʻzgarmaydi («remains constant»).
- Undefined slope — vertikal chiziq. Run = 0 boʻladi, nolga boʻlish esa mumkin emas. Shuning uchun «qiyaligi 0» emas, «undefined».
Jadvaldan qiyalikni topish
Jadval berilganda ikkita ustunning oʻzgarishini qaraymiz. Muhim shart: x qadami teng boʻlishi shart emas, lekin nisbat har doim bir xil chiqishi kerak — aks holda bogʻlanish chiziqli emas.
| x | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 11 | 17 | 23 |
Kontekstdagi maʼnosi — SAT'ning sevimli savoli
Amaliy masalada qiyalik har doim bitta narsani bildiradi: bir birlik uchun necha birlik — «per» soʻzi bilan aytiladigan son. Agar C = 6h + 10 boʻlsa, 6 — har bir qoʻshimcha soat uchun toʻlanadigan $6; 10 esa boshlangʻich toʻlov (y-intercept, SAT-7).
C = 6h + 10
Har qoʻshimcha soat uchun $6, ustiga bir martalik $10.
Diqqat: bir soatlik ijara $6 emas, $16. Qiyalik — oʻzgarish, boshlangʻich qiymat emas.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- what is the slope of the linechiziqning qiyaligi qancha
- which is the best interpretation of 66 soni kontekstda nimani bildiradi
- for each additional hourhar bir qoʻshimcha soat uchun — bu qiyalik
- increases at a constant rateoʻzgarmas tezlikda ortadi — chiziqli model
- remains constantoʻzgarmaydi — qiyaligi 0
- rate of changeoʻzgarish tezligi — qiyalikning boshqacha nomi
SAT savollari
SAT-style question 45 s
A line in the xy-plane passes through the points (2, 3) and (6, 11). What is the slope of the line?
- 1/2
- 2
- 4
- 8
Yechimni koʻrish
Javob: B) 2
Ikki nuqtadan qiyalik topishning rasmiy formulasi SAT-6 da, lekin u aynan shu ikki ayirmaning nisbati.
SAT-style question 60 s
The total cost C, in dollars, of renting a bike for h hours is given by C = 6h + 10. Which of the following is the best interpretation of the number 6 in this context?
- The initial cost of renting the bike is $6.
- The cost increases by $6 for each additional hour.
- The bike can be rented for a maximum of 6 hours.
- The total cost of renting the bike for one hour is $6.
Yechimni koʻrish
Javob: B) The cost increases by $6 for each additional hour.
6 — h ning oldida turibdi, demak u qiyalik: har bir qoʻshimcha soat narxni $6 ga oshiradi. Hisoblash kerak emas — faqat maʼnosini oʻqish kerak.
A) notoʻgʻri: boshlangʻich narx 10 (u harfsiz turibdi). D) notoʻgʻri: bir soatlik ijara 6 × 1 + 10 = $16.
«Interpretation» savolida hech narsa hisoblamang. Ikki savol bering:
- Bu son harf bilanmi turibdi? Ha boʻlsa — u qiyalik: «har bir … uchun».
- Yolgʻiz turibdimi? Unda u boshlangʻich qiymat: «boshida», «bir martalik».
Bu savollar 15 soniya oladi, lekin SAT'da har testda 2–4 marta uchraydi — eng foydali 15 soniya.
(2, 3) va (6, 11) uchun m = (6 − 2) ÷ (11 − 3)
m = (11 − 3) ÷ (6 − 2)
Ustida y lar, pastda x lar. Teskari yozilsa javob har doim javoblar orasidagi tuzoqqa tushadi.
Vertikal chiziqning qiyaligi 0.
Vertikal chiziqning qiyaligi undefined; gorizontalniki 0.
Vertikal chiziqda run = 0, nolga boʻlish esa aniqlanmagan.
Mashq
1 What is the slope of the line through (1, 2) and (5, 14)?
Javobni koʻrish
3 — rise = 14 − 2 = 12, run = 5 − 1 = 4, m = 12 ÷ 4 = 3.
2 A line passes through (0, 9) and (3, 0). Is its slope positive or negative, and what is it?
Javobni koʻrish
Manfiy, m = −3 — rise = 0 − 9 = −9, run = 3 − 0 = 3. Chiziq oʻngga qarab pasaymoqda.
3 In a table, x goes 1, 3, 5 and y goes 20, 14, 8. What is the slope?
Javobni koʻrish
−3 — har safar x 2 ga ortganda y 6 ga kamayadi: −6 ÷ 2 = −3.
4 The number of liters in a tank is L = 500 − 12m, where m is minutes. What does −12 represent?
Javobni koʻrish
Har daqiqada bakdan 12 litr kamayadi. Manfiy qiyalik — kamayish; 500 esa boshlangʻich hajm.
5 A worker's pay is P = 18h + 40. Which is bigger: the pay for one hour of work, or the number 18? Explain.
Javobni koʻrish
Bir soatlik toʻlov kattaroq: 18 × 1 + 40 = $58, 18 esa faqat har qoʻshimcha soat uchun. Qiyalik — oʻzgarish, jami emas. SAT aynan shu farqni sinaydi.
Key words
- slopeqiyalik; tiklik va yoʻnalish
- risekoʻtarilish; y ning oʻzgarishi
- runoʻngga yurish; x ning oʻzgarishi
- rate of changeoʻzgarish tezligi — qiyalikning ikkinchi nomi
- constant rateoʻzgarmas tezlik; chiziqli model
- xy-planekoordinata tekisligi
- undefinedaniqlanmagan (vertikal chiziq)
- interpretationmaʼnosi; «bu son nimani bildiradi»
- per additional hourhar bir qoʻshimcha soat uchun
- initial valueboshlangʻich qiymat; harfsiz turgan son
Esda qoladigan uch narsa
- Qiyalik = rise ÷ run — ustida y lar, pastda x lar. Teskarisi — tuzoq javob.
- Musbat — koʻtariladi, manfiy — pasayadi, 0 — gorizontal, undefined — vertikal.
- Kontekstda qiyalik har doim «har bir … uchun» degan son. Boshlangʻich qiymat emas — u harfsiz turadi.