SAT-5: The Concept of Slope: Steepness and Direction
Qiyalik — chiziqning tikligi va yoʻnalishi: rise ÷ run. Grafikdan, jadvaldan va tenglamadan oʻqish, ishorasining maʼnosi va SAT'ning eng sevimli savoli: «bu son kontekstda nimani bildiradi?»
SAT-5: The Concept of Slope: Steepness and Direction
Qiyalik (slope) — SAT Math'dagi eng koʻp «ishlaydigan» bitta tushuncha. U chiziqli grafiklarda ham, matnli masalalarda ham, jadvalli savollarda ham chiqadi va deyarli har testda kamida bitta savol shunday yangraydi: «What does the 15 represent in this context?» Bu darsda formulani emas, avvalo maʼnosini oʻrnatamiz.
Bu darsdan keyin siz
- qiyalikni «bir qadam oʻngga yurganda necha qadam koʻtarilamiz» deb oʻqiysiz;
- grafikdan va jadvaldan qiyalikni sanaysiz;
- ishorasidan chiziqning yoʻnalishini aytasiz (musbat, manfiy, nol, aniqlanmagan);
- qiyalikning kontekstdagi maʼnosini tushuntirasiz — SAT'ning sevimli savoli.
Qiyalik nimani bildiradi
Rise — yuqoriga koʻtarilish (y ning oʻzgarishi), run — oʻngga yurish (x ning oʻzgarishi). Qiyalik — bu ikkisining nisbati, yaʼni bir qadam oʻngga yurganda y qancha oʻzgaradi. Pastdagi chiziqda oʻngga 4 qadam yurganda 8 birlik koʻtarildik, demak har bir qadamga 2 birlik: m = 8 ÷ 4 = 2.
Ishora — chiziqning yoʻnalishi
Positive slope (m > 0)
Chap tomondan oʻngga qarab koʻtariladi. Kontekstda: miqdor ortib boradi — tejalgan pul, oʻsgan boʻy, yigʻilgan ochko.
Negative slope (m < 0)
Oʻngga qarab pasayadi. Kontekstda: kamayish — bakdagi suv, qolgan masofa, sovuyotgan choy.
- m = 0 — gorizontal chiziq. y hech oʻzgarmaydi («remains constant»).
- Undefined slope — vertikal chiziq. Run = 0 boʻladi, nolga boʻlish esa mumkin emas. Shuning uchun «qiyaligi 0» emas, «undefined».
Jadvaldan qiyalikni topish
Jadval berilganda ikkita ustunning oʻzgarishini qaraymiz. Muhim shart: x qadami teng boʻlishi shart emas, lekin nisbat har doim bir xil chiqishi kerak — aks holda bogʻlanish chiziqli emas.
| x | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| y | 5 | 11 | 17 | 23 |
Kontekstdagi maʼnosi — SAT'ning sevimli savoli
Amaliy masalada qiyalik har doim bitta narsani bildiradi: bir birlik uchun necha birlik — «per» soʻzi bilan aytiladigan son. Agar C = 6h + 10 boʻlsa, 6 — har bir qoʻshimcha soat uchun toʻlanadigan $6; 10 esa boshlangʻich toʻlov (y-intercept, SAT-7). C = 6h + 10 Har qoʻshimcha soat uchun $6, ustiga bir martalik $10. Diqqat: bir soatlik ijara $6 emas, $16. Qiyalik — oʻzgarish, boshlangʻich qiymat emas. Oʻzbekcha Ikki nuqtaning ayirmasini olayotganda tartibni buzmang: agar yuqorida 11 − 3 desangiz, pastda ham xuddi shu nuqtadan boshlab 6 − 2 boʻlishi kerak. Bittasini teskari olsangiz, ishora notoʻgʻri chiqadi va javob tuzoqqa tushadi. Exam English — savol qanday soʻraydi what is the slope of the linechiziqning qiyaligi qancha which is the best interpretation of 66 soni kontekstda nimani bildiradi for each additional hourhar bir qoʻshimcha soat uchun — bu qiyalik increases at a constant rateoʻzgarmas tezlikda ortadi — chiziqli model remains constantoʻzgarmaydi — qiyaligi 0 rate of changeoʻzgarish tezligi — qiyalikning boshqacha nomi SAT savollari SAT-style question 45 s A line in the xy-plane passes through the points (2, 3) and (6, 11). What is the slope of the line? 1/2 2 4 8 Yechimni koʻrish Javob: B) 2 rise = 11 − 3 = 8 y larning ayirmasi run = 6 − 2 = 4 x larning ayirmasi, xuddi shu tartibda m = 8 ÷ 4 = 2 Yuqoridagi chizmadagi chiziqning oʻzi Ikki nuqtadan qiyalik topishning rasmiy formulasi SAT-6 da, lekin u aynan shu ikki ayirmaning nisbati. Tuzoq javob 1/2 Nisbat teskari olingan: run ÷ rise. Tartib har doim rise ustida, run pastda — «y avval». Tuzoq javob 8 Faqat rise hisoblangan, run ga boʻlinmagan. Qiyalik — koʻtarilishning oʻzi emas, nisbati. SAT-style question 60 s The total cost C, in dollars, of renting a bike for h hours is given by C = 6h + 10. Which of the following is the best interpretation of the number 6 in this context? The initial cost of renting the bike is $6.
Yechimni koʻrish
Javob: B) The cost increases by $6 for each additional hour. 6 — h ning oldida turibdi, demak u qiyalik: har bir qoʻshimcha soat narxni $6 ga oshiradi. Hisoblash kerak emas — faqat maʼnosini oʻqish kerak.
A) notoʻgʻri: boshlangʻich narx 10 (u harfsiz turibdi). D) notoʻgʻri: bir soatlik ijara 6 × 1 + 10 = $16. Test-day taktikasi «Interpretation» savolida hech narsa hisoblamang. Ikki savol bering: Bu son harf bilanmi turibdi? Ha boʻlsa — u qiyalik: «har bir … uchun». Yolgʻiz turibdimi? Unda u boshlangʻich qiymat: «boshida», «bir martalik». Bu savollar 15 soniya oladi, lekin SAT'da har testda 2–4 marta uchraydi — eng foydali 15 soniya. (2, 3) va (6, 11) uchun m = (6 − 2) ÷ (11 − 3) m = (11 − 3) ÷ (6 − 2) Ustida y lar, pastda x lar. Teskari yozilsa javob har doim javoblar orasidagi tuzoqqa tushadi. Vertikal chiziqning qiyaligi 0. Vertikal chiziqning qiyaligi undefined; gorizontalniki 0. Vertikal chiziqda run = 0, nolga boʻlish esa aniqlanmagan. Mashq 1 What is the slope of the line through (1, 2) and (5, 14)? Javobni koʻrish 3 — rise = 14 − 2 = 12, run = 5 − 1 = 4, m = 12 ÷ 4 = 3. 2 A line passes through (0, 9) and (3, 0). Is its slope positive or negative, and what is it? Javobni koʻrish Manfiy, m = −3 — rise = 0 − 9 = −9, run = 3 − 0 = 3. Chiziq oʻngga qarab pasaymoqda. 3 In a table, x goes 1, 3, 5 and y goes 20, 14, 8. What is the slope? Javobni koʻrish −3 — har safar x 2 ga ortganda y 6 ga kamayadi: −6 ÷ 2 = −3. 4 The number of liters in a tank is L = 500 − 12m, where m is minutes. What does −12 represent? Javobni koʻrish Har daqiqada bakdan 12 litr kamayadi. Manfiy qiyalik — kamayish; 500 esa boshlangʻich hajm. 5 A worker's pay is P = 18h + 40. Which is bigger: the pay for one hour of work, or the number 18? Explain. Javobni koʻrish Bir soatlik toʻlov kattaroq: 18 × 1 + 40 = $58, 18 esa faqat har qoʻshimcha soat uchun. Qiyalik — oʻzgarish, jami emas. SAT aynan shu farqni sinaydi.
Key words
- slopeqiyalik; tiklik va yoʻnalish
- risekoʻtarilish; y ning oʻzgarishi
- runoʻngga yurish; x ning oʻzgarishi
- rate of changeoʻzgarish tezligi — qiyalikning ikkinchi nomi
- constant rateoʻzgarmas tezlik; chiziqli model
- xy-planekoordinata tekisligi
- undefinedaniqlanmagan (vertikal chiziq)
- interpretationmaʼnosi; «bu son nimani bildiradi»
- per additional hourhar bir qoʻshimcha soat uchun
- initial valueboshlangʻich qiymat; harfsiz turgan son
Esda qoladigan uch narsa
- Qiyalik = rise ÷ run — ustida y lar, pastda x lar. Teskarisi — tuzoq javob.
- Musbat — koʻtariladi, manfiy — pasayadi, 0 — gorizontal, undefined — vertikal.
- Kontekstda qiyalik har doim «har bir … uchun» degan son. Boshlangʻich qiymat emas — u harfsiz turadi.