Mathematics

SAT-12: Perpendicular Lines and Negative Reciprocal Slopes

Perpendikulyar chiziqlarning qiyaliklari koʻpaytmasi −1 ga teng: kasrni agʻdarib, ishorani almashtiramiz. Gorizontal va vertikal — qoida ishlamaydigan yagona juftlik.

powerty

Sen. 3, 2026

1 5 daqiqa 0

SAT-12: Perpendicular Lines and Negative Reciprocal Slopes

Parallel chiziqlar bir xil qiyalikka ega edi. Perpendikulyar chiziqlar esa — toʻgʻri burchak ostida kesishadiganlari — bir-biriga eng qarama-qarshi qiyaliklarga ega. Qoida bitta amalda: agʻdaring va ishorani almashtiring. SAT buni har testda soʻraydi va deyarli har doim javoblar orasiga «faqat agʻdarilgan» va «faqat ishorasi almashgan» variantlarni qoʻyadi.

Bu darsdan keyin siz

berilgan qiyalikning perpendikulyarini bir soniyada aytasiz;
tekshiruvni koʻpaytirish orqali qilasiz: m₁ · m₂ = −1;
berilgan chiziqqa perpendikulyar va nuqtadan oʻtuvchi tenglama tuzasiz;
gorizontal va vertikal juftlikni istisno sifatida bilasiz.

Perpendicular m₁ · m₂ = −1 m₂ = −1 ÷ m₁

Agʻdaring va ishorani almashtiring

Negative reciprocal — «manfiy teskari son». Ikki amal, tartibi ahamiyatsiz:

Berilgan qiyalik	Agʻdaring	Ishorani almashtiring
4 (yaʼni 4/1)	1/4	−1/4
−2/3	−3/2	3/2
1/5	5	−5
−1	−1	1

Tekshirish har doim bir xil: ikkalasini koʻpaytiring va −1 chiqishi kerak. 4 × (−1/4) = −1 ✓ va (−2/3) × (3/2) = −1 ✓

Oʻzbekcha Butun son ham kasr: 4 — bu 4/1. Agʻdarilganda 1/4 boʻladi. Oʻquvchilar butun sonni «agʻdarib boʻlmaydi» deb oʻylab, faqat ishorani almashtiradi va −4 deb javob beradi — bu javoblar orasidagi eng qadimiy tuzoq.

Misol 1 (oson)

What is the slope of a line perpendicular to y = 4x + 1?

m₁ = 4 = 4/1 Butun sonni kasr koʻrinishida yozdik

m₂ = −1/4 Agʻdardik (1/4), ishorani almashtirdik. Tekshiruv: 4 × (−1/4) = −1 ✓

Misol 2 (oʻrta) — nuqta bilan birga

Line m is perpendicular to y = 4x + 1 and passes through (8, 3). Write its equation.

m = −1/4 Misol 1 dan

3 = −(1/4)(8) + b → 3 = −2 + b Nuqtani qoʻydik; −(1/4) × 8 = −2

b = 5 → y = −(1/4)x + 5 Tekshiruv: −(1/4)(8) + 5 = −2 + 5 = 3 ✓

Oʻqituvchi maslahati Nuqtani qulay tanlashadi: 8 soni 1/4 ga boʻlinadi. Agar hisob chirkin chiqsa, koʻpincha qiyalikni notoʻgʻri agʻdargan boʻlasiz — bir qadam orqaga qayting.

Oʻzbekcha Reciprocal — «teskari son», yaʼni 1 ni shu songa boʻlgani: 4 ning teskarisi 1/4. Negative reciprocal esa uning ustiga minus qoʻyadi. Ikki soʻz — ikki amal; savolda ikkalasi ham aytilgan.

Bitta istisno: gorizontal va vertikal

Gorizontal chiziqning qiyaligi 0, vertikalniki undefined. Ular bir-biriga perpendikulyar — buni koʻz bilan koʻrish mumkin — lekin koʻpaytmasi −1 emas, chunki aniqlanmagan songa koʻpaytirib boʻlmaydi.

Toʻgʻri burchak bor, lekin «koʻpaytmasi −1» qoidasi bu juftlikka qoʻllanmaydi.

Ehtiyot boʻling Savol «perpendicular to the line x = 3» desa, javob qiyalik 0 boʻlgan gorizontal chiziq, yaʼni y = son. Bu yerda formula bilan urinmang.

Exam English — savol qanday soʻraydi

perpendicular to…ga perpendikulyar; toʻgʻri burchak ostida kesishadi
negative reciprocalmanfiy teskari son: agʻdar va ishorani almashtir
the product of the slopesqiyaliklarning koʻpaytmasi (= −1)
at a right angletoʻgʻri burchak ostida
which of the following could beqaysi biri boʻlishi mumkin

SAT savollari

SAT-style question 40 s

What is the slope of a line perpendicular to the line y = (3/5)x − 2?

−5/3
−3/5
3/5
5/3

Yechimni koʻrish

Javob: A) −5/3

3/5 ni agʻdaramiz → 5/3, ishorani almashtiramiz → −5/3.

Tekshiruv: (3/5) × (−5/3) = −1 ✓ — bu koʻpaytirish har doim 5 soniya oladi va javobni tasdiqlaydi.

Tuzoq javob −3/5 Faqat ishora almashtirilgan, kasr agʻdarilmagan. Tekshiring: (3/5) × (−3/5) = −9/25, bu −1 emas.

Tuzoq javob 5/3 Faqat agʻdarilgan, ishora almashtirilmagan. Ikkala amal ham kerak — nomining oʻzida turibdi: negative reciprocal.

SAT-style question 80 s

Line n passes through the point (4, −1) and is perpendicular to the line y = 2x + 9. Which equation represents line n?

y = −(1/2)x − 3
y = −(1/2)x + 1
y = (1/2)x + 1
y = 2x − 9

Yechimni koʻrish

Javob: B) y = −(1/2)x + 1

m = −1/2 2 ni agʻdardik va ishorani almashtirdik

−1 = −(1/2)(4) + b → −1 = −2 + b → b = 1 Nuqtani qoʻydik

Ikki javob bir xil qiyalikka ega — ularni faqat b ajratadi, shuning uchun nuqtani qoʻyish qadamini tashlab boʻlmaydi.

Test-day taktikasi

Qiyalik savollarida ikki filtr javoblarning yarmini darhol oʻchiradi:

Ishora: perpendikulyar qiyalikning ishorasi berilganiga qarama-qarshi boʻlishi shart.
Kattalik: berilgani 1 dan katta boʻlsa, javob 1 dan kichik boʻladi (va aksincha).

Keyin qolganini koʻpaytirib tekshiring: −1 chiqmasa, javob emas.

y = 3x ga perpendikulyar chiziqning qiyaligi −3.

Qiyaligi −1/3.

Faqat ishora almashtirilgan. 3 × (−3) = −9, −1 emas.

Perpendikulyar chiziqlarning qiyaliklari yigʻindisi −1.

Ularning koʻpaytmasi −1.

2 va −1/2 uchun yigʻindi 1.5, koʻpaytma esa −1. Qoida koʻpaytirish haqida.

Oʻzbekcha Perpendikulyar chiziqlar har doim kesishadi — demak ularning sistemasi bitta yechimga ega. Parallel chiziqlar bilan aynan shu joyda farq qiladi.

Mashq

1 What is the slope of a line perpendicular to y = −5x + 2?

Javobni koʻrish

1/5 — −5 ni agʻdarsak −1/5, ishorani almashtirsak +1/5. Tekshiruv: −5 × 1/5 = −1 ✓

2 Two lines have slopes 2/7 and −7/2. Are they perpendicular?

Javobni koʻrish

Ha — (2/7) × (−7/2) = −14/14 = −1. Koʻpaytma −1, demak toʻgʻri burchak ostida kesishadi.

3 What is the slope of a line perpendicular to y = 6?

Javobni koʻrish

Undefined — y = 6 gorizontal, unga perpendikulyar chiziq vertikal. Formula bilan emas, rasm bilan hal qilinadi.

4 A line perpendicular to y = −(1/3)x passes through (0, 7). Write its equation.

Javobni koʻrish

y = 3x + 7 — −1/3 ni agʻdarsak −3, ishorani almashtirsak 3; nuqta y oʻqida, demak b = 7.

5 A path meets a straight canal at a right angle. The canal has a slope of 2/5. What is the slope of the path?

Javobni koʻrish

−5/2 — agʻdaramiz (5/2) va ishorani almashtiramiz. Tekshiruv: (2/5) × (−5/2) = −1 ✓

Key words

perpendicularperpendikulyar; toʻgʻri burchak ostida
negative reciprocalmanfiy teskari son
reciprocalteskari son (kasrni agʻdarish)
the product of…ning koʻpaytmasi
right angletoʻgʻri burchak
horizontal / verticalgorizontal / vertikal
undefined slopeaniqlanmagan qiyalik (vertikal chiziq)
intersect at… nuqtada kesishadi
flip the fractionkasrni agʻdarish
opposite signqarama-qarshi ishora

Esda qoladigan uch narsa

Agʻdaring va ishorani almashtiring — ikkala amal ham, birdan.
Tekshiruv bir soniya: qiyaliklar koʻpaytmasi −1 boʻlishi shart.
Gorizontal (0) va vertikal (undefined) — istisno: perpendikulyar, lekin koʻpaytma qoidasi ularga qoʻllanmaydi.

Rivojlanishni kuzatish uchun kiring

Foydali bo'ldimi? Yoqdi 0 Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring

Barcha darsliklar

powerty

Muallif · Staff

Sen. 3, 2026 Sen. 3, 2026

Ko'rishlar

Yoqishlar

O'qildi