Mathematics

SAT-14: Graphing Linear Inequalities on the Coordinate Plane

Tengsizlikning grafigi — chiziq emas, tekislikning yarmi. Chiziq uzluksiz yoki uzuq boʻlishi, qaysi tomon shtrixlanishi va sinov nuqtasi bilan tekshirish.

powerty

Sen. 3, 2026

1 6 daqiqa 0

SAT-14: Graphing Linear Inequalities on the Coordinate Plane

Tenglamaning grafigi — chiziq. Tengsizlikning grafigi — tekislikning butun bir yarmi, chunki shartni cheksiz koʻp nuqta qanoatlantiradi. SAT bu mavzuni ikki koʻrinishda soʻraydi: «qaysi grafik shu tengsizlikni ifodalaydi» va «qaysi nuqta yechim boʻladi». Ikkalasi ham ikki qadamda hal qilinadi.

Bu darsdan keyin siz

chegara chizigʻini toʻgʻri chizasiz — uzluksiz yoki uzuq;
qaysi tomonni shtrixlashni sinov nuqtasi bilan aniqlaysiz;
berilgan nuqta yechim yoki yoʻqligini 10 soniyada tekshirasiz;
«y > …» va «y < …» ni yuqori/quyi tomon bilan bogʻlaysiz.

Two decisions chiziq : ≤ ≥ uzluksiz · < > uzuq + tomon : sinov nuqtasi

Qadam 1 — chegara chizigʻi

Tengsizlik belgisini vaqtincha tenglik deb oʻqing va shu chiziqni chizing (SAT-9 dagi usullar bilan). Keyin chiziqning turini belgi hal qiladi:

≤ yoki ≥ — uzluksiz

Chiziqning oʻzidagi nuqtalar ham yechim, chunki tenglik ruxsat etilgan. Solid line.

< yoki > — uzuq

Chiziqning oʻzi yechim emas — u faqat chegara. Dashed line.

Qadam 2 — qaysi tomon

Eng ishonchli usul — sinov nuqtasi. Chiziq ustida yotmagan istalgan nuqtani oling (deyarli har doim (0, 0) eng qulayi), uni tengsizlikka qoʻying va soʻrang: rostmi?

Rost → oʻsha nuqta turgan tomon shtrixlanadi.
Yolgʻon → boshqa tomon shtrixlanadi.

y ≥ 2x − 3 Chegara: y = 2x − 3, belgi ≥ — chiziq uzluksiz

(0, 0): 0 ≥ 2(0) − 3 Sinov nuqtasini qoʻydik

0 ≥ −3 — rost Demak (0, 0) turgan tomon, yaʼni chiziqning ustki tomoni shtrixlanadi

Uzuq chiziq — chegara yechimga kirmaydi; shtrixlangan yarim tekislik esa kiradi.

Oʻzbekcha Sinov nuqtasi sifatida (0, 0) ni oling — hisob deyarli oʻz-oʻzidan chiqadi. Yagona istisno: chiziq aynan boshdan oʻtsa (b = 0). Unda (1, 0) yoki (0, 1) ni oling.

Oʻzbekcha Uzuq chiziq «bu yergacha, lekin bu chiziqning oʻzi emas» degani. Oʻzbekchada buni «chegara ichkariga kirmaydi» deb oʻqing — xuddi SAT-13 dagi qatʼiy belgi kabi. Ikkalasi bir xil gʻoya, ikki xil rasm.

Tez usul: y ga yechilgan boʻlsa

Agar tengsizlik allaqachon y ga yechilgan boʻlsa, sinov nuqtasi ham kerak emas:

y > mx + b → chiziqning USTKI tomoni

«y kattaroq» — demak yuqoriroq nuqtalar.

y < mx + b esa pastki tomon. Bu faqat y yolgʻiz qolganda ishlaydi.

Ehtiyot boʻling Bu tez usul faqat y chap tomonda yolgʻiz turganda toʻgʻri. −2y > 4 koʻrinishida boʻlsa, avval yeching (belgi agʻdariladi, SAT-13) va keyingina «yuqori/quyi» deb ayting.

Misol (SAT darajasi) — standart shakl

2x + 3y < 12 Chegara: 2x + 3y = 12; belgi < — chiziq uzuq

Kesishmalar: (6, 0) va (0, 4) SAT-8 dagi usul — chiziq shu ikki nuqtadan chiziladi

(0, 0): 0 < 12 — rost Boshni oʻz ichiga olgan tomon shtrixlanadi

Exam English — savol qanday soʻraydi

which graph represents the inequalityqaysi grafik shu tengsizlikni ifodalaydi
a solid / dashed boundary lineuzluksiz / uzuq chegara chizigʻi
the shaded regionshtrixlangan soha — yechimlar toʻplami
which point is a solutionqaysi nuqta yechim boʻladi
lies in the solution setyechimlar toʻplamiga tegishli

SAT savollari

SAT-style question 50 s

Which of the following describes the graph of y < −x + 4 in the xy-plane?

A dashed line with the region below it shaded
A dashed line with the region above it shaded
A solid line with the region below it shaded
A solid line with the region above it shaded

Yechimni koʻrish

Javob: A) uzuq chiziq, pastki tomon shtrixlangan

Belgi < — qatʼiy, demak chegara chizigʻi uzuq. y yolgʻiz turibdi va «kichik» deyilgan — demak chiziqning pastki tomoni.

Tekshiruv: (0, 0) → 0 < 4 rost, va boshlangʻich nuqta haqiqatan chiziqdan pastda.

Tuzoq javob solid line, below Tomon toʻgʻri, chiziq notoʻgʻri. Uzluksiz chiziq faqat ≤ va ≥ da boʻladi; qatʼiy belgida chegara yechim emas.

SAT-style question 60 s

Which of the following points is a solution to the inequality y ≥ 2x − 6?

(0, −7)
(1, −5)
(2, −3)
(3, 1)

Yechimni koʻrish

Javob: D) (3, 1)

Har bir nuqtani qoʻyib chiqamiz — bu savol turi har doim shunday yechiladi:

(3, 1): 2(3) − 6 = 0, va 1 ≥ 0 Rost ✓

(0, −7): −7 ≥ −6 Yolgʻon — −7 kichikroq

(2, −3): −3 ≥ −2 Yolgʻon

Manfiy sonlarni taqqoslashda ehtiyot boʻling: −7 −6 dan kichik.

Tuzoq javob (2, −3) Hisob toʻgʻri (2 × 2 − 6 = −2), lekin manfiy sonlar taqqoslanganda adashilgan: −3 −2 dan kichik, demak −3 ≥ −2 yolgʻon. Manfiy tomonda «kattaroq» nolga yaqinroq degani.

Test-day taktikasi

«Qaysi nuqta yechim?» savolida hech narsa chizmang:

Har bir nuqtaning koordinatalarini tengsizlikka qoʻying.
Chap va oʻng tomonni hisoblang, keyin belgini tekshiring.
Rost chiqqani — javob. Odatda ikkinchi yoki uchinchi urinishda topiladi.

Grafik savolida esa teskarisi: avval chiziq turi (uzuq/uzluksiz) bilan yarmini oʻchiring, keyin (0, 0) bilan tomonni tanlang.

y > 2x + 1 uchun chiziq uzluksiz chiziladi.

Uzuq (dashed) chiziladi.

> qatʼiy belgi — chegaradagi nuqtalar yechim emas. Uzluksiz chiziq faqat ≥ va ≤ da.

−2y > 4 → chiziqning ustki tomoni

Avval yeching: y < −2 → pastki tomon.

«Yuqori/quyi» qoidasi faqat y yolgʻiz qolganda ishlaydi, va bu yerda boʻlishda belgi ham agʻdarildi.

Oʻzbekcha Shtrixlangan soha — bu yechimlar toʻplami: undagi har bir nuqta tengsizlikni qanoatlantiradi. Shuning uchun «qaysi nuqta yechim» savoli aslida «qaysi nuqta shtrixlangan sohada yotadi» degani.

Mashq

1 Is the boundary line of y ≤ 3x + 2 solid or dashed?

Javobni koʻrish

Uzluksiz (solid) — ≤ belgisi tenglikni ham qamrab oladi, demak chiziqning oʻzi ham yechim.

2 Is (0, 0) a solution of y > x + 1?

Javobni koʻrish

Yoʻq — 0 > 0 + 1 yaʼni 0 > 1, bu yolgʻon. Demak shtrixlash boshning boshqa tomonida.

3 Is (5, 2) a solution of 2x + y ≤ 12?

Javobni koʻrish

Ha — 2(5) + 2 = 12, va 12 ≤ 12 rost. Chegaradagi nuqta ham yechim, chunki belgi ≤.

4 For y < 4, which region is shaded and what kind of line is drawn?

Javobni koʻrish

Uzuq gorizontal chiziq y = 4, va uning pastki tomoni shtrixlanadi.

5 A shop's delivery zone is described by y ≤ 8 − x, where the numbers are kilometres east and north of the shop. Is a house at (3, 6) inside the zone?

Javobni koʻrish

Yoʻq — 8 − 3 = 5, va 6 ≤ 5 yolgʻon. Uy chegaradan tashqarida qoladi.