Mathematics

SAT-16: Systems of Linear Equations: Solving by Substitution

Ikki tenglama, ikki nomaʼlum va bitta yechim — nuqta. Bitta harfni yolgʻiz qoldirib, uni ikkinchi tenglamaga qoʻyish: SAT'da eng koʻp ishlaydigan usul.

powerty

Sen. 4, 2026

0 6 daqiqa 0

SAT-16: Systems of Linear Equations: Solving by Substitution

Shu paytgacha har bir tenglamada bitta nomaʼlum bor edi. Endi ikkitasi bor — va shuning uchun bitta tenglama yetmaydi: ikki nomaʼlumni topish uchun ikkita shart kerak. Ikkita tenglama birga system deb ataladi, va SAT'ning har bir modulida ulardan bir nechtasi bor.

Bu darsdan keyin siz

sistemaning yechimi nima ekanini bilasiz — u son emas, nuqta;
bitta harfni yolgʻiz qoldirib, uni ikkinchi tenglamaga qoʻyasiz;
ikkinchi nomaʼlumni orqaga qoʻyib topasiz va ikkala tenglamada tekshirasiz;
savol x ni emas, x + y ni soʻraganini payqaysiz.

A system tenglama 1 + tenglama 2 → (x, y)

Yechim — bu nuqta

Sistemaning yechimi — ikkala tenglamani bir vaqtda rost qiladigan (x, y) juftligi. Grafik tilida bu ikki chiziqning kesishgan nuqtasi: u birinchi chiziqda ham, ikkinchisida ham yotadi.

Oʻzbekcha Shuning uchun javobni ikkala tenglamada tekshirish kerak. Faqat bittasida tekshirish — yarim tekshiruv; xato koʻpincha aynan ikkinchisida chiqadi.

Oʻrniga qoʻyish — qachon eng tez

Agar bir tenglamada harflardan biri allaqachon yolgʻiz tursa (y = … yoki x = …), oʻrniga qoʻyish usuli eng tez yoʻl.

Uch qadam: izolyatsiya → qoʻyish → orqaga qoʻyish.

Misol 1 (oson)

y = 2x + 1 va 3x + y = 11.

3x + (2x + 1) = 11 y ning oʻrniga 2x + 1 ni qoʻydik — endi bitta nomaʼlum

5x + 1 = 11 → x = 2 Oddiy chiziqli tenglama (SAT-2)

y = 2(2) + 1 = 5 → (2, 5) x ni birinchi tenglamaga orqaga qoʻydik

Tekshiramiz

Birinchi: 5 = 2(2) + 1 ✓. Ikkinchi: 3(2) + 5 = 11 ✓ — ikkala tenglama ham rost.

Misol 2 (oʻrta) — x yolgʻiz turganda

x = y − 3 va 2x + 3y = 19.

2(y − 3) + 3y = 19 x ning oʻrniga y − 3 ni qavs bilan qoʻydik

2y − 6 + 3y = 19 → 5y = 25 Qavs ochildi, oʻxshash hadlar qoʻshildi

y = 5, x = 5 − 3 = 2 → (2, 5) Orqaga qoʻydik

Ehtiyot boʻling Oʻrniga qoʻyganda qavs yozing: 2(y − 3), 2y − 3 emas. Qavssiz qoʻyish shu mavzudagi eng koʻp uchraydigan xato va u javobni butunlay oʻzgartiradi.

Misol 3 (SAT darajasi) — avval izolyatsiya qilish kerak

2x + y = 7 va 3x − 2y = 7.

y = 7 − 2x Birinchi tenglamada y ni yolgʻiz qoldirdik — koeffitsienti 1, eng qulayi

3x − 2(7 − 2x) = 7 Ikkinchi tenglamaga qoʻydik

3x − 14 + 4x = 7 → 7x = 21 −2 × (−2x) = +4x — ishoraga eʼtibor

x = 3, y = 7 − 6 = 1 → (3, 1) Tekshiruv: 2(3) + 1 = 7 ✓ va 3(3) − 2(1) = 7 ✓

Oʻqituvchi maslahati Qaysi harfni izolyatsiya qilish kerak? Koeffitsienti 1 boʻlganini — shunda kasr paydo boʻlmaydi. Yuqorida y tanlandi, chunki uning oldida son yoʻq edi.

Oʻzbekcha Sistemada ikkita tenglama bir vaqtda bajarilishi kerak — shuning uchun ular «va» bilan bogʻlangan, «yoki» bilan emas. Bitta tenglamani qanoatlantirgan nuqta yechim boʻlmaydi.

Exam English — savol qanday soʻraydi

the solution to the systemsistemaning yechimi — (x, y) juftligi
what is the value of x + yx + y ning qiymati — ikkalasini topib qoʻshing
if (a, b) is the solutionagar (a, b) yechim boʻlsa — a bu x, b bu y
satisfies both equationsikkala tenglamani ham qanoatlantiradi
the point of intersectionkesishish nuqtasi — yechimning grafikdagi nomi

SAT savollari

SAT-style question 60 s

y = 3x − 4

2x + y = 11

If (x, y) is the solution to the system above, what is the value of x + y?

Yechimni koʻrish

Javob: C) 8

2x + (3x − 4) = 11 y ning oʻrniga qoʻydik

5x = 15 → x = 3 4 ni qoʻshdik, 5 ga boʻldik

y = 3(3) − 4 = 5, x + y = 8 Savol yigʻindini soʻradi

Ikkala son ham — 3 va 5 — javoblar orasida turibdi. Sistema savollarida oxirgi jumlani ikki marta oʻqish shart.

Tuzoq javob 3 Bu x ning qiymati. Sistemani toʻgʻri yechib, savolni oxirigacha oʻqimaslik — bu mavzudagi eng qimmat xato.

Tuzoq javob 15 5x = 15 da toʻxtab qolgan javob. Yarim yoʻldagi son har doim variantlar orasida boʻladi.

SAT-style question 75 s

x + 2y = 10

x = y + 1

If (a, b) is the solution to the system above, what is the value of a?

Yechimni koʻrish

Javob: B) 4

(a, b) — bu (x, y), demak a bu x.

(y + 1) + 2y = 10 → 3y = 9 → y = 3 x ning oʻrniga y + 1 ni qoʻydik

x = 3 + 1 = 4 Tekshiruv: 4 + 2(3) = 10 ✓

3 — bu b, yaʼni y. Harflar oʻzgarganda ham tartib oʻsha: birinchisi x, ikkinchisi y.

Test-day taktikasi

Sistemani koʻrganingizda 5 soniyada usul tanlang:

Bir harf yolgʻiz turibdimi (y = … yoki x = …)? → oʻrniga qoʻying.
Koeffitsienti 1 boʻlgan harf bormi? → uni izolyatsiya qiling.
Ikkalasi ham yoʻqmi? → yoʻqotish usuli tezroq (SAT-17).

Va oxirida savolni qayta oʻqing: u koʻpincha x ni emas, x + y yoki 2y ni soʻraydi.

x = y − 3 ni qoʻyganda: 2y − 3 + 3y = 19

2(y − 3) + 3y = 19

Butun ifoda x ning oʻrnini egallaydi, demak u qavs ichida koʻpaytiriladi.

x = 3 topildi → javob 3.

Savol x + y ni soʻragan boʻlsa, javob 8.

Sistemaning yechimi ikkita son. Qaysi biri (yoki qaysi ifoda) soʻralganini savolning oxirgi jumlasi aytadi.

Oʻzbekcha Yechimni nuqta koʻrinishida yozib qoʻying: (3, 1). Shunda «qaysi biri x edi?» degan savol tugʻilmaydi va tekshirish ham osonlashadi.

Mashq

1 Solve: y = x + 2 and 3x + y = 10

Javobni koʻrish

(2, 4) — 3x + x + 2 = 10 → 4x = 8 → x = 2, keyin y = 4. Tekshiruv: 3(2) + 4 = 10 ✓

2 Solve: x = 2y and x + y = 12

Javobni koʻrish

(8, 4) — 2y + y = 12 → 3y = 12 → y = 4, keyin x = 8.

3 Solve: y = 5 − x and 2x + y = 8

Javobni koʻrish

(3, 2) — 2x + 5 − x = 8 → x + 5 = 8 → x = 3, keyin y = 2.

4 Where do y = 4x and y = x + 6 intersect?

Javobni koʻrish

(2, 8) — ikkala chiziq ham y ga yechilgan, demak 4x = x + 6 → 3x = 6 → x = 2, va y = 8.

5 Two numbers add to 30, and one is 4 more than the other. What are they?

Javobni koʻrish

17 va 13 — x + y = 30 va x = y + 4 → (y + 4) + y = 30 → 2y = 26 → y = 13, x = 17.

Key words

system of equationstenglamalar sistemasi
substitutionoʻrniga qoʻyish usuli
the solution to the systemsistemaning yechimi — (x, y)
satisfies both equationsikkala tenglamani ham qanoatlantiradi
point of intersectionkesishish nuqtasi
isolateyolgʻiz qoldirish
substitute into… ga qoʻyish
ordered pairtartiblangan juftlik (x, y)
simultaneouslybir vaqtda
back-substituteorqaga qoʻyish (ikkinchi harfni topish uchun)

Esda qoladigan uch narsa

Yechim — nuqta, ikkala tenglamani ham rost qiladigan (x, y).
Oʻrniga qoʻyganda qavs yozing va koeffitsienti 1 boʻlgan harfni tanlang.
Ikkala sonni topib, savolni qayta oʻqing: u x + y ni soʻragan boʻlishi mumkin.

Rivojlanishni kuzatish uchun kiring

Foydali bo'ldimi? Yoqdi 0 Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring

Barcha darsliklar

powerty

Muallif · Staff

Sen. 4, 2026 Sen. 4, 2026

Ko'rishlar

Yoqishlar

O'qildi