Mathematics

SAT-17: Systems of Linear Equations: Solving by Elimination

Ikki tenglamani qoʻshib yoki ayirib, bitta nomaʼlumni butunlay yoʻqotish. Kerak boʻlsa avval koʻpaytiramiz — va SAT'ning sevimli qisqa yoʻli: qoʻshishning oʻzi x + y ni beradi.

powerty

Sen. 4, 2026

0 6 daqiqa 0

SAT-17: Systems of Linear Equations: Solving by Elimination

Oʻrniga qoʻyish usuli bitta harf yolgʻiz turganda ajoyib ishlaydi. Lekin 2x + 3y = 12 va 4x − 3y = 6 kabi sistemada hech qaysi harf yolgʻiz emas, va izolyatsiya kasrlar keltirib chiqaradi. Bunday holatda ikkinchi usul tezroq: ikki tenglamani bir-biriga qoʻshib, nomaʼlumlardan birini butunlay yoʻqotish.

Bu darsdan keyin siz

koeffitsientlar qarama-qarshi boʻlganda tenglamalarni qoʻshasiz;
bir xil boʻlganda ayirasiz;
hech qaysisi mos kelmasa, avval koʻpaytirib mos qilasiz;
SAT soʻraydigan x + y ni koʻpincha bitta qoʻshish bilan olasiz.

Elimination +3y va −3y → qoʻshsak yoʻqoladi

Nega qoʻshish mumkin

Tenglama — bu ikki tomonning teng ekani. Teng narsalarni teng narsalarga qoʻshsak, tenglik saqlanadi. Shuning uchun chap tomonlarni chap tomonlarga, oʻng tomonlarni oʻng tomonlarga qoʻshish mumkin — va agar bir harfning koeffitsientlari qarama-qarshi boʻlsa, u yoʻqoladi.

Misol 1 (oson) — qoʻshish

x + y = 10
x − y = 4 y ning koeffitsientlari +1 va −1 — qarama-qarshi

2x = 14 → x = 7 Ikki tenglamani qoʻshdik, y yoʻqoldi

7 + y = 10 → y = 3 → (7, 3) x ni istalgan tenglamaga orqaga qoʻydik

Misol 2 (oʻrta)

2x + 3y = 12
4x − 3y = 6 +3y va −3y — qoʻshsak yoʻqoladi

6x = 18 → x = 3 2x + 4x = 6x va 12 + 6 = 18

2(3) + 3y = 12 → y = 2 → (3, 2) Tekshiruv: 4(3) − 3(2) = 6 ✓

Oʻzbekcha Koeffitsientlar bir xil boʻlsa (masalan +3y va +3y), qoʻshish emas, ayirish kerak. Ayirishda esa oʻng tomonni ham ayirishni unutmang va har bir hadning ishorasini almashtiring — bu yerda xato koʻp boʻladi.

Misol 3 (SAT darajasi) — avval koʻpaytiring

3x + 4y = 10 va 2x + y = 5. Hech qaysi koeffitsient mos kelmaydi, shuning uchun ikkinchi tenglamani 4 ga koʻpaytiramiz.

8x + 4y = 20 Ikkinchi tenglamaning hamma hadi 4 ga koʻpaytirildi

(8x + 4y) − (3x + 4y) = 20 − 10 Endi 4y ikkalasida ham bor — ayiramiz

5x = 10 → x = 2, y = 1 Tekshiruv: 3(2) + 4(1) = 10 ✓ va 2(2) + 1 = 5 ✓

Ehtiyot boʻling Koʻpaytirganda oʻng tomon ham koʻpayadi: 2x + y = 5 ni 4 ga koʻpaytirsak 8x + 4y = 20, 5 emas. Faqat chap tomonni koʻpaytirish — bu mavzudagi klassik xato.

Oʻzbekcha Koʻpaytiruvchini tanlashda kichigini qidiring: 3 va 2 uchun 6 ga chiqarish shart emas — koʻpincha bitta tenglamani koʻpaytirish yetadi. Ortiqcha katta sonlar faqat hisobni ogʻirlashtiradi va xato ehtimolini oshiradi.

SAT'ning qisqa yoʻli: javob koʻpincha qoʻshishning oʻzida

Testda sistema koʻpincha x ni emas, x + y ni soʻraydi. Va koʻp savolda ikki tenglamani shunchaki qoʻshishning oʻzi javobni beradi — har bir nomaʼlumni alohida topmasdan.

3x + 2y = 14
2x + 3y = 11 Berilgan sistema

5x + 5y = 25 Ikkalasini qoʻshdik

x + y = 5 Hamma hadni 5 ga boʻldik — 15 soniyada tugadi

Oʻqituvchi maslahati Savol x + y yoki x − y ni soʻrasa, avval qoʻshib va ayirib koʻring. Koeffitsientlar simmetrik boʻlsa (3 va 2, keyin 2 va 3), javob deyarli har doim bitta amalda chiqadi.

Exam English — savol qanday soʻraydi

what is the value of x + yx + y qancha — qoʻshib koʻring
eliminate one variablebitta nomaʼlumni yoʻqotish
multiply the second equation byikkinchi tenglamani … ga koʻpaytiring
add the equationstenglamalarni qoʻshing
which of the following givesquyidagilardan qaysi biri … beradi

SAT savollari

SAT-style question 50 s

2x + 3y = 12

4x − 3y = 6

What is the value of x in the solution to the system above?

Yechimni koʻrish

Javob: B) 3

+3y va −3y qarama-qarshi, shuning uchun qoʻshamiz: 6x = 18, demak x = 3.

18 — 6x = 18 da toʻxtab qolgan javob; 2 — bu y, x emas.

Tuzoq javob 2 Bu y ning qiymati. Sistema toʻgʻri yechilgan, lekin savol x ni soʻragan edi — ikki javob ham variantlar orasida turadi.

Tuzoq javob 18 6x = 18 dan keyin 6 ga boʻlish qilinmagan. Har qoʻshishdan keyin «hali boʻlish qoldimi?» deb soʻrang.

SAT-style question 60 s

3x + 2y = 14

2x + 3y = 11

What is the value of x + y?

Yechimni koʻrish

Javob: C) 5

Ikki tenglamani qoʻshamiz: 5x + 5y = 25, keyin 5 ga boʻlamiz: x + y = 5. Har bir nomaʼlumni alohida topish shart emas.

(Xohlasangiz: ayirish x − y = 3 beradi, va ikkalasidan x = 4, y = 1 — lekin bu qoʻshimcha ish.)

25 — boʻlishdan oldingi son; 4 — bu x.

Test-day taktikasi

Sistemani koʻrganingizda ikki savol bering:

Bir harfning koeffitsientlari qarama-qarshimi? → qoʻshing.
Bir xilmi? → ayiring.
Ikkalasi ham yoʻqmi? → bittasini koʻpaytirib mos qiling (kichikroq songa).

Va savol x + y ni soʻrasa, avval shunchaki qoʻshib koʻring — bu eng tez ochkolardan biri.

2x + y = 5 ni 4 ga koʻpaytirdik: 8x + 4y = 5

8x + 4y = 20

Tenglamaning ikkala tomoni koʻpaytiriladi, aks holda tenglik buziladi.

(8x + 4y) − (3x + 4y) = 20 − 10 → 5x + 8y = 10

5x = 10

Ayirishda 4y − 4y = 0 — u yoʻqoladi, qoʻshilmaydi. Usulning butun maqsadi shu.

Oʻzbekcha Ikkala usul ham (oʻrniga qoʻyish va yoʻqotish) bir xil javob beradi — ular faqat yoʻl. Testda vaqtni qaysi biri tejasa, oʻshani tanlang: koeffitsientlar «tayyor» boʻlsa yoʻqotish, bir harf yolgʻiz tursa oʻrniga qoʻyish.

Mashq

1 Solve: x + y = 9 and x − y = 1

Javobni koʻrish

(5, 4) — qoʻshamiz: 2x = 10 → x = 5, keyin y = 4.

2 Solve: 2x + y = 7 and 3x − y = 8

Javobni koʻrish

(3, 1) — y ning koeffitsientlari qarama-qarshi: qoʻshsak 5x = 15 → x = 3, keyin y = 1.

3 Solve: 4x + 3y = 18 and 4x − 3y = 6

Javobni koʻrish

(3, 2) — qoʻshsak 8x = 24 → x = 3; keyin 12 + 3y = 18 → y = 2.

4 Solve: x + 2y = 8 and 3x − y = 3

Javobni koʻrish

(2, 3) — birinchisini 3 ga koʻpaytiramiz: 3x + 6y = 24, keyin ikkinchisini ayiramiz: 7y = 21 → y = 3, x = 2.

5 If 5x + 4y = 20 and 4x + 5y = 16, what is x + y?

Javobni koʻrish

4 — qoʻshamiz: 9x + 9y = 36, keyin 9 ga boʻlamiz. Alohida yechish kerak emas.

Key words

eliminationyoʻqotish usuli
eliminate a variablenomaʼlumni yoʻqotish
add / subtract the equationstenglamalarni qoʻshish / ayirish
multiply both sidesikkala tomonni koʻpaytirish
opposite coefficientsqarama-qarshi koeffitsientlar
identical coefficientsbir xil koeffitsientlar
the resulting equationhosil boʻlgan tenglama
back-substituteorqaga qoʻyish
simultaneous equationssistemaning boshqa nomi
verifytekshirmoq

Esda qoladigan uch narsa

Qarama-qarshi koeffitsient — qoʻshing; bir xil — ayiring; mos kelmasa — avval koʻpaytiring.
Koʻpaytirganda oʻng tomon ham koʻpayadi.
Savol x + y ni soʻrasa, shunchaki qoʻshib koʻring — koʻpincha javob bir amalda chiqadi.