SAT-22: Absolute Value Inequalities on the Number Line
«Kichik» modul oraliq beradi, «katta» modul esa ikki tomonni. Bitta belgi butun rasmni oʻzgartiradi — va bu Blok A ning oxirgi darsi.
SAT-22: Absolute Value Inequalities on the Number Line
SAT-4 da modulni uzoqlik deb oʻqigan edik va |x| = 7 ikki javob bergan edi. Endi tenglik oʻrniga tengsizlik qoʻyamiz — va uzoqlik gʻoyasi darrov ish beradi: «7 dan yaqin» butunlay boshqa rasm, «7 dan uzoq» esa yana boshqa.
Bu darsdan keyin siz
- |x| < a ni oraliq (VA) deb oʻqiysiz;
- |x| > a ni ikki tomon (YOKI) deb oʻqiysiz;
- modulni avval yolgʻiz qoldirasiz;
- meʼyor va chetlanish masalasini tengsizlik bilan yozasiz.
Kichik — oraliq, katta — ikki tomon
|x| < 5 degani «noldan uzoqligi 5 dan kichik». Bunday sonlar nolning atrofida yotadi: −5 dan 5 gacha. Bu bitta oraliq, va u «va» bilan bogʻlanadi: x > −5 va x < 5.
|x| > 5 degani esa «noldan uzoqligi 5 dan katta» — bunday sonlar nolning chekkasida: yo −5 dan chapda, yo 5 dan oʻngda. Bu ikki alohida nur, va ular «yoki» bilan bogʻlanadi.
Yuqoridagi oraliq — |x − 3| < 5 ning yechimi: 3 dan besh qadamdan yaqin hamma sonlar, yaʼni −2 dan 8 gacha.
Misol 1 (oson) — oraliq
Misol 2 (oʻrta) — ikki tomon
Eʼtibor bering: oʻrtadagi qism — x = 0 ni oʻz ichiga olgan boʻshliq — yechim emas. Tekshiring: x = 0 da |2(0) + 1| = 1, va 1 ≥ 7 yolgʻon ✓
Misol 3 (SAT darajasi) — avval izolyatsiya
Hayotdagi maʼnosi: meʼyor va chetlanish
SAT-4 dagi suv shishasini eslang: hajm 500 millilitrdan 8 dan koʻp farq qilsa, shisha rad etilardi. Tengsizlik tilida qabul qilinadigan shishalar shunday yoziladi: |v − 500| ≤ 8, yaʼni 492 ≤ v ≤ 508.
|v − 500| ≤ 8 → 492 ≤ v ≤ 508
Meʼyor 500, ruxsat etilgan chetlanish 8 — natija oraliq.
Modul ichidagi son — markaz; oʻng tomondagi son — ruxsat etilgan uzoqlik.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- which describes all values of xx ning barcha qiymatlari qaysi javobda
- within 8 of 500500 dan 8 dan uzoq emas — ≤ oraligʻi
- differs from … by more than…dan koʻproq farq qiladi — ikki tomon
- the solution setyechimlar toʻplami
- on the number linesonlar oʻqida
SAT savollari
SAT-style question 60 s
Which of the following describes all values of x for which |x − 4| ≤ 6?
- −10 ≤ x ≤ 10
- −2 ≤ x ≤ 10
- x ≤ −2 or x ≥ 10
- x ≤ 2 or x ≥ 6
Yechimni koʻrish
Javob: B) −2 ≤ x ≤ 10
«Kichik yoki teng» — demak oraliq: −6 ≤ x − 4 ≤ 6, uchala qismga 4 ni qoʻshamiz.
Tekshiruv: x = 0 → |0 − 4| = 4 ≤ 6 ✓ va 0 haqiqatan −2 bilan 10 orasida.
SAT-style question 75 s
Which of the following describes all values of x for which |2x − 5| > 3?
- 1 < x < 4
- x < 1 or x > 4
- x < −4 or x > 1
- x > 4
Yechimni koʻrish
Javob: B) x < 1 or x > 4
x > 4 — yarim javob: u faqat bitta tomonni beradi. «Katta» modul har doim ikki qismdan iborat.
Modulli tengsizlik savolida javoblarni son qoʻyib oʻchiring:
- Modul ichidagini nolga aylantiradigan sonni toping (markaz).
- Markazning oʻzini asl tengsizlikka qoʻying. «Kichik» boʻlsa u rost chiqadi — demak javob oraliq; «katta» boʻlsa yolgʻon — demak ikki tomon.
- Qolgan ikki javobni chegara soni bilan ajrating.
|x| > 5 → −5 < x < 5
x < −5 yoki x > 5
«Katta» — markazdan uzoq, demak ikki chekka; oraliq esa «kichik»ning javobi.
|x − 4| ≤ 6 → −6 ≤ x ≤ 6
−2 ≤ x ≤ 10
Uchala qismga 4 ni qoʻshish unutilgan. Markaz — 0 emas, 4.
Mashq
1 Solve: |x| < 5
Javobni koʻrish
−5 < x < 5 — «kichik» oraliq beradi.
2 Solve: |x| ≥ 3
Javobni koʻrish
x ≤ −3 yoki x ≥ 3 — «katta» ikki tomonni beradi.
3 Solve: |x + 2| < 6
Javobni koʻrish
−8 < x < 4 — −6 < x + 2 < 6, keyin uchala qismdan 2 ni ayiramiz.
4 Solve: 2|x| − 1 > 9
Javobni koʻrish
x < −5 yoki x > 5 — avval izolyatsiya: 2|x| > 10 → |x| > 5, keyin «katta» qoidasi.
5 A machine fills bottles to 500 millilitres. A bottle is accepted if its volume differs from 500 by no more than 8 millilitres. Write this as an inequality and give the accepted range.
Javobni koʻrish
|v − 500| ≤ 8, demak 492 ≤ v ≤ 508. «No more than» — oraliq beradi.
Key words
- absolute value inequalitymodulli tengsizlik
- betweenorasida (oraliq javob)
- oryoki (ikki tomonli javob)
- within … of ……dan … dan uzoq emas
- differs by more than…dan koʻproq farq qiladi
- solution setyechimlar toʻplami
- number linesonlar oʻqi
- toleranceruxsat etilgan chetlanish
- isolate the absolute valuemodulni yolgʻiz qoldirish
- compound inequalityuch qismli tengsizlik
Esda qoladigan uch narsa
- Less → between (bitta oraliq), greater → outside (ikki tomon).
- Modulni yolgʻiz qoldiring, keyin ikkiga ajrating.
- Markaz — modul ichidagini nolga aylantiruvchi son; chegaralar undan teng uzoqlikda.