SAT-21: Systems of Linear Inequalities and Bounded Regions
Ikki tengsizlik birga berilsa, yechim ikki shtrixlangan sohaning umumiy qismi boʻladi. Nuqtani ikkala shartga qoʻyib tekshirish va byudjet + minimal talab modeli.
SAT-21: Systems of Linear Inequalities and Bounded Regions
SAT-14 da bitta tengsizlikning grafigi tekislikning yarmi ekanini koʻrdik. Endi ikkita tengsizlik birga beriladi — va yechim ikkalasining umumiy qismi, yaʼni ikki shtrixlangan sohaning kesishmasi boʻladi. Hayotda bu juda tanish narsa: byudjetdan chiqmaslik va kerakli miqdorni olish.
Bu darsdan keyin siz
- tengsizliklar sistemasining yechimi nima ekanini bilasiz;
- nuqtani ikkala shartga qoʻyib 20 soniyada tekshirasiz;
- chegaralangan (bounded) va chegaralanmagan sohani farqlaysiz;
- «byudjet + minimal talab» modelini tengsizliklar sistemasi sifatida yozasiz.
Yechim — ikki sohaning kesishmasi
Har bir tengsizlik oʻz yarim tekisligini beradi. Sistemaning yechimi esa faqat ikkalasiga ham tegishli nuqtalardan iborat. Grafikda bu ikki shtrixning ustma-ust tushgan joyi — koʻpincha uni qoraroq yoki boshqa rang bilan belgilashadi.
Nuqtani tekshirish — testdagi asosiy savol
SAT bu mavzuni deyarli har doim bitta shaklda soʻraydi: «which point is a solution to the system?» Chizish shart emas — har bir nuqtani ikkala tengsizlikka qoʻying.
Bitta shart buzilsa, nuqta darhol chiqib ketadi. (5, 3) nuqtasi x + y ≤ 6 shartini buzadi (8 ≤ 6 yolgʻon), shuning uchun boshqa shart qanday boʻlishidan qatʼi nazar u yechim emas.
Chegaralangan va chegaralanmagan soha
Bounded
Soha hamma tomondan yopilgan — koʻpburchak hosil boʻladi. Uning burchak nuqtalari bor va amaliy masalalarda eng yaxshi yechim odatda oʻsha burchaklarda boʻladi.
Unbounded
Soha bir tomonga cheksiz davom etadi. Masalan y ≥ 2 va y ≥ x — yuqoriga hech narsa chegara qoʻymaydi.
Hayotdagi model: byudjet va minimal talab
A club buys pens at $2 each and notebooks at $5 each. It has at most $40 to spend and needs at least 12 items in total.
Tekshiramiz
12 ta ruchka va 2 ta daftar: narxi 24 + 10 = $34 ≤ 40 ✓, soni 14 ≥ 12 ✓ — ikkala shart ham bajarildi.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- which point is a solution to the systemqaysi nuqta sistemaning yechimi
- satisfies both inequalitiesikkala tengsizlikni ham qanoatlantiradi
- the shaded regionshtrixlangan soha — umumiy qism
- could be the number of… soni boʻlishi mumkin (butun son va manfiy emas)
- at most … and at least …koʻpi bilan … va kamida … — ikkita shart
SAT savollari
SAT-style question 60 s
y > 2x − 3
y ≤ x + 1
Which of the following points is a solution to the system above?
- (0, 0)
- (1, −2)
- (2, 5)
- (4, 2)
Yechimni koʻrish
Javob: A) (0, 0)
0 > 2(0) − 3 = −3 ✓ va 0 ≤ 0 + 1 = 1 ✓ — ikkalasi ham rost.
Qolganlari: (1, −2) → −2 > −1 ✗; (2, 5) → 5 ≤ 3 ✗; (4, 2) → 2 > 5 ✗. Har bir nuqta uchun ikki qator hisob — bu savol turi shunday yechiladi.
SAT-style question 90 s
A club buys pens at $2 each and notebooks at $5 each. It can spend at most $40 and must buy at least 12 items in total. Which of the following combinations is possible?
- 5 pens and 5 notebooks
- 10 pens and 5 notebooks
- 12 pens and 2 notebooks
- 15 pens and 3 notebooks
Yechimni koʻrish
Javob: C) 12 pens and 2 notebooks
Narxi: 24 + 10 = $34 ≤ 40 ✓. Soni: 14 ≥ 12 ✓.
Qolganlari: 5 va 5 → atigi 10 ta narsa, 12 dan kam ✗; 10 va 5 → $45 ✗; 15 va 3 → $45 ✗.
Tengsizliklar sistemasi savolida hech qachon chizmang:
- Nuqtani birinchi tengsizlikka qoʻying. Yolgʻon boʻlsa — tashlang, ikkinchisini hisoblamang.
- Rost boʻlsa, ikkinchisini tekshiring.
- Ikkalasi ham rost boʻlgan yagona nuqta — javob.
Bir nuqta uchun oʻrtacha 10 soniya ketadi va toʻrttasi ham 40 soniyada tugaydi.
Nuqta bitta tengsizlikni qanoatlantirsa — yechim.
Ikkalasini ham qanoatlantirishi shart.
Yechim — sohalarning kesishmasi, yigʻindisi emas.
«At least 12 items» → p + n ≤ 12
p + n ≥ 12
«At least» — kamida, yaʼni pastki chegara (SAT-15). Bitta belgi butun sohani teskari tomonga oʻgiradi.
Mashq
1 Is (0, 0) a solution to y ≥ x − 1 and y < 4?
Javobni koʻrish
Ha — 0 ≥ −1 ✓ va 0 < 4 ✓. Ikkala shart ham bajarildi.
2 Is (5, 3) a solution to x + y ≤ 6 and y ≥ 2?
Javobni koʻrish
Yoʻq — ikkinchi shart bajariladi (3 ≥ 2), lekin birinchisi buziladi: 5 + 3 = 8, va 8 ≤ 6 yolgʻon.
3 Is (1, 3) a solution to x + y ≤ 6 and y ≥ 2?
Javobni koʻrish
Ha — 1 + 3 = 4 ≤ 6 ✓ va 3 ≥ 2 ✓.
4 Write the system for: «at most $50 spent on tickets costing $6 each and programmes costing $4 each, with at least 8 items bought».
Javobni koʻrish
6t + 4p ≤ 50 va t + p ≥ 8 — «at most» pul uchun ≤, «at least» soni uchun ≥.
5 Using that system, is 5 tickets and 4 programmes possible?
Javobni koʻrish
Ha — narxi 30 + 16 = $46 ≤ 50 ✓ va soni 9 ≥ 8 ✓.
Key words
- system of inequalitiestengsizliklar sistemasi
- satisfies bothikkalasini ham qanoatlantiradi
- the shaded regionshtrixlangan soha
- overlapustma-ust tushgan qism
- bounded / unboundedchegaralangan / chegaralanmagan
- vertex (corner point)burchak nuqtasi
- combinationjuftlik, kombinatsiya
- constraintshart, chegara
- at most / at leastkoʻpi bilan / kamida
- possiblemumkin boʻlgan (ikkala shartga mos)
Esda qoladigan uch narsa
- Yechim — ikki sohaning kesishmasi: nuqta ikkala shartni ham qanoatlantirishi kerak.
- Chizmang — nuqtani qoʻyib tekshiring; bitta yolgʻon yetarli.
- «At most» → ≤ (byudjet), «at least» → ≥ (miqdor). Bitta soʻz sohani oʻgiradi.