SAT-25: Simplifying Radical Expressions
Ildiz ostidan toʻliq kvadratni chiqarish, oʻxshash ildizlarni qoʻshish va ikki ildizni koʻpaytirish — SAT javoblari deyarli har doim soddalashtirilgan koʻrinishda beriladi.
SAT-25: Simplifying Radical Expressions
SAT javoblari orasida √50 ni koʻrmaysiz — u yerda 5√2 turadi. Ikkalasi bir xil son, lekin test har doim soddalashtirilgan koʻrinishni talab qiladi. Shuning uchun toʻgʻri hisoblab, javobni javoblar orasidan topa olmaslik — bu mavzudagi eng koʻp uchraydigan yoʻqotish.
Bu darsdan keyin siz
- ildiz ostidan toʻliq kvadratni chiqarasiz;
- qaysi ildizlarni qoʻshish mumkinligini bilasiz;
- ikki ildizni koʻpaytirasiz va natija butun son boʻlishini koʻrasiz;
- javobni SAT kutgan koʻrinishga keltirasiz.
Toʻliq kvadratni ajratib oling
Soddalashtirish bitta savolga tayanadi: ildiz ostidagi sonning toʻliq kvadrat boʻluvchisi bormi? Toʻliq kvadratlar: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — ularni yod bilish kerak.
Faqat oʻxshash ildizlar qoʻshiladi
Ildiz ostidagi son bir xil boʻlsa, ular x va y kabi hadlar sifatida qoʻshiladi (SAT-1):
3√2 + 5√2 = 8√2
Uchta «ildiz ikki» va beshta «ildiz ikki» — sakkizta.
√2 + √3 esa qoʻshilmaydi — ular oʻxshash hadlar emas.
√9 + √16 = √25 = 5
√9 + √16 = 3 + 4 = 7
Ildiz qoʻshishga taqsimlanmaydi. Qoida faqat koʻpaytirish uchun.
Koʻpaytirish — koʻpincha butun son beradi
Misol (SAT darajasi) — avval soddalashtiring, keyin qoʻshing
Ildizning qiymatini chamalash
Javobni tekshirish uchun ildizning taxminiy qiymatini bilish kifoya. Ikki sonni yod oling: √2 ≈ 1.41 va √3 ≈ 1.73. Ular bilan koʻp javobni bir necha soniyada solishtirish mumkin.
5√3 ≈ 5 × 1.73 = 8.65
Va √75 ham taxminan 8.66 — demak javob toʻgʻri.
Boshqa yoʻl: 75 soni 64 (82) bilan 81 (92) orasida, demak √75 ham 8 bilan 9 orasida.
Bu chamalash usuli geometriyada ham asqotadi: tomoni 10√2 boʻlgan kvadratning tomoni taxminan 14.1 metr ekanini bilish — chizmani tasavvur qilish uchun yetarli.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- in simplest radical formeng sodda ildizli koʻrinishda
- which is equivalent toqaysi ifoda teng kuchli
- where a is a positive integera — musbat butun son
- the square root of…ning kvadrat ildizi
- rounded to the nearest tenthoʻndan biriga yaxlitlangan (kalkulyator savoli)
SAT savollari
SAT-style question 45 s
Which expression is equivalent to √75?
- 3√5
- 5√3
- 15
- 25√3
Yechimni koʻrish
Javob: B) 5√3
75 = 25 × 3, va √25 = 5. Demak √75 = 5√3.
Tekshirish: 5√3 ≈ 5 × 1.73 = 8.66, va √75 ≈ 8.66 ✓ — kalkulyatorda 10 soniyada tasdiqlanadi.
SAT-style question 75 s
Which expression is equivalent to 2√18 + √8?
- 6√2
- 8√2
- 10√2
- √80
Yechimni koʻrish
Javob: B) 8√2
√18 = 3√2, demak 2√18 = 6√2. Va √8 = 2√2. Yigʻindi: 6√2 + 2√2 = 8√2.
√80 — ildiz ostidagi sonlarni qoʻshgan javob (72 + 8). Ildiz qoʻshishga taqsimlanmaydi.
Ildizli javoblarni oʻnli kasrga aylantirib solishtiring:
- Asl ifodani kalkulyatorda hisoblang: 2√18 + √8 ≈ 11.31.
- Javoblarni ham hisoblang: 8√2 ≈ 11.31 ✓, 6√2 ≈ 8.49 ✗.
- Mos kelgani — javob, soddalashtirish qadamlarisiz.
Bu usul soddalashtirishdan koʻra sekinroq, lekin xatoga umuman joy qoldirmaydi.
√2 + √3 = √5
√2 + √3 — soddalashtirib boʻlmaydi.
Ildiz ostidagi sonlar har xil, demak ular oʻxshash hadlar emas. Tekshiring: 1.41 + 1.73 = 3.14, √5 esa 2.24.
Mashq
1 Simplify: √48
Javobni koʻrish
4√3 — 48 = 16 × 3, va √16 = 4.
2 Simplify: √32
Javobni koʻrish
4√2 — 32 = 16 × 2. (8 × 4 ni olsangiz 2√8 chiqadi va yana soddalashtirish kerak boʻladi.)
3 Simplify: 2√5 + 7√5
Javobni koʻrish
9√5 — ildiz ostidagi son bir xil, demak koeffitsientlar qoʻshiladi.
4 Simplify: √2 · √8
Javobni koʻrish
4 — √16 = 4. Ikki irratsional son koʻpaytirilib butun son bergani bu mavzudagi eng chiroyli natija.
5 A square field has an area of 200 square metres. Write the length of one side in simplest radical form.
Javobni koʻrish
10√2 metr — tomoni √200, va 200 = 100 × 2. Taxminan 14.1 metr.
Key words
- radicalildizli ifoda
- simplest radical formeng sodda ildizli koʻrinish
- perfect squaretoʻliq kvadrat (4, 9, 16, 25…)
- factorkoʻpaytuvchi
- like radicalsoʻxshash ildizlar (ostidagi son bir xil)
- irrationalirratsional (kasr bilan aniq yozilmaydi)
- under the radicalildiz ostida
- approximatelytaxminan
- side lengthtomonning uzunligi
- areayuza
Esda qoladigan uch narsa
- Eng katta toʻliq kvadratni ajrating va uning ildizini tashqariga chiqaring.
- Faqat oʻxshash ildizlar qoʻshiladi — xuddi oʻxshash hadlar kabi.
- Ildiz koʻpaytirishga taqsimlanadi, qoʻshishga emas: √9 + √16 = 7, √25 emas.