SAT-26: Rationalizing Denominators
Maxrajdagi ildizdan qutulish: kasrni oʻsha ildizga koʻpaytirish, yoki ikki hadli maxrajda qoʻshma ifodadan foydalanish.
SAT-26: Rationalizing Denominators
SAT javoblarida 1⁄√2 koʻrinishidagi ifodani deyarli koʻrmaysiz — u yerda √2 ⁄ 2 turadi. Ikkalasi bir xil son (0.7071), lekin matematikaning eski odati maxrajda ildiz qoldirmaydi. Bu odat qayerdan chiqqanini bilish qoidani yodlashdan koʻra foydali.
Bu darsdan keyin siz
- maxrajdagi bitta ildizdan qutulasiz;
- natijani soddalashtirasiz (SAT-25);
- ikki hadli maxrajda qoʻshma ifodadan foydalanasiz;
- javobingizni SAT kutgan koʻrinishga keltirasiz.
Nega bu odat paydo boʻlgan
Kalkulyatorgacha boʻlgan davrda 1 ni 1.41421 ga qoʻlda boʻlish uzoq va xatoga moyil ish edi. Lekin 1.41421 ni 2 ga boʻlish — bolalar ishi. Shuning uchun matematiklar ildizni yuqoriga koʻchirib olishardi: javob oʻsha, hisob esa bir necha marta oson.
Bitta ildiz — bitta koʻpaytirish
Eʼtibor bering, √3 × √3 = 3 — ildiz butunlay yoʻqoldi. Bu usulning butun sirri shu: ildizni oʻziga koʻpaytirsangiz, u ildiz boʻlmay qoladi.
Ikki hadli maxraj — qoʻshma ifoda
Maxrajda 2 + √3 kabi ifoda tursa, oddiy koʻpaytirish yordam bermaydi. Bu yerda conjugate — qoʻshma ifoda — ishlatiladi: oʻsha ikki had, lekin oʻrtasidagi ishora almashtirilgan.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- rationalize the denominatormaxrajni ratsionallashtiring
- which is equivalent toqaysi ifoda teng kuchli
- in simplest formeng sodda koʻrinishda
- the conjugate of…ning qoʻshma ifodasi
- where a and b are integersa va b — butun sonlar
SAT savollari
SAT-style question 50 s
Which expression is equivalent to 10 ÷ √5?
- 2
- 2√5
- 5√2
- 10√5
Yechimni koʻrish
Javob: B) 2√5
Surat va maxrajni √5 ga koʻpaytiramiz: 10√5 ÷ 5 = 2√5.
Tekshiruv: 10 ÷ 2.236 ≈ 4.47 va 2 × 2.236 ≈ 4.47 ✓
SAT-style question 80 s
Which expression is equivalent to 1 ÷ (3 − √2)?
- (3 − √2) ÷ 7
- (3 + √2) ÷ 7
- (3 + √2) ÷ 11
- 3 + √2
Yechimni koʻrish
Javob: B) (3 + √2) ÷ 7
Qoʻshma ifoda 3 + √2. Maxraj: (3 − √2)(3 + √2) = 9 − 2 = 7.
Tekshiruv: 1 ÷ (3 − 1.414) = 1 ÷ 1.586 ≈ 0.631, va (3 + 1.414) ÷ 7 ≈ 0.631 ✓
Ildizli javoblarni tanlashda kalkulyator eng ishonchli hakam:
- Asl ifodani hisoblang (masalan 1 ÷ (3 − √2) ≈ 0.631).
- Javoblarni ham hisoblang.
- Mos kelgani — javob, hech qanday koʻpaytirishsiz.
Bu usul ayniqsa qoʻshma ifoda savollarida foydali: u yerda belgi xatosi juda oson boʻladi.
1 ÷ √2 = √2
1 ÷ √2 = √2 ÷ 2
Koʻpaytirgandan keyin maxrajda 2 qoladi. Tekshiruv: 1 ÷ 1.414 ≈ 0.71, va √2 ≈ 1.41 — teng emas.
(2 + √3) ning qoʻshmasi (−2 + √3)
Qoʻshmasi (2 − √3)
Faqat oʻrtadagi ishora almashadi, birinchi hadniki emas.
Mashq
1 Rationalize: 1 ÷ √2
Javobni koʻrish
√2 ÷ 2 — surat va maxrajni √2 ga koʻpaytiramiz; √2 × √2 = 2.
2 Rationalize: 3 ÷ √5
Javobni koʻrish
3√5 ÷ 5 — bu safar qisqartirish yoʻq, chunki 3 va 5 ning umumiy boʻluvchisi yoʻq.
3 Rationalize and simplify: 8 ÷ √2
Javobni koʻrish
4√2 — 8√2 ÷ 2 = 4√2. Oxirgi qisqartirishni unutmang.
4 What is the conjugate of 5 + √7?
Javobni koʻrish
5 − √7 — faqat oʻrtadagi ishora almashadi.
5 Rationalize: 4 ÷ (√5 − 1)
Javobni koʻrish
√5 + 1 — qoʻshma ifoda (√5 + 1), maxraj 5 − 1 = 4, va 4 ÷ 4 = 1. Tekshiruv: 4 ÷ 1.236 ≈ 3.24 va 2.236 + 1 ≈ 3.24 ✓
Key words
- rationalizeratsionallashtirish (ildizdan qutulish)
- denominatormaxraj
- numeratorsurat
- conjugateqoʻshma ifoda (ishorasi almashtirilgan)
- equivalentteng kuchli
- simplest formeng sodda koʻrinish
- irrationalirratsional son
- multiply top and bottomsurat va maxrajni koʻpaytirish
- integerbutun son
- cancelqisqartirmoq
Esda qoladigan uch narsa
- Bitta ildiz boʻlsa — oʻsha ildizga koʻpaytiring; ildiz oʻziga koʻpaytirilganda yoʻqoladi.
- Ikki hadli maxrajda — qoʻshma ifoda: faqat oʻrtadagi ishora almashadi.
- Oxirida yana soddalashtiring: 6√3 ÷ 3 = 2√3.