SAT-28: Multiplying Polynomials (FOIL and beyond)
Har bir hadni har bir hadga koʻpaytirish. Ikki ikkihad uchun bu FOIL deb ataladi, lekin qoida kattaroq ifodalarda ham oʻsha.
SAT-28: Multiplying Polynomials (FOIL and beyond)
Koʻphadlarni koʻpaytirish bitta qoidaga tayanadi va u yangi emas: birinchi qavsdagi har bir had ikkinchi qavsdagi har bir hadga koʻpaytiriladi. Ikki ikkihad uchun bu toʻrtta koʻpaytma beradi va uni eslab qolish uchun FOIL degan nom oʻylab topilgan.
Bu darsdan keyin siz
- ikki ikkihadni FOIL bilan koʻpaytirasiz;
- oʻrtadagi hadni toʻgʻri birlashtirasiz;
- uch hadli qavs bilan ham ishlaysiz;
- faqat bitta koeffitsient soʻralganda butun koʻpaytirishni qilmaysiz.
Toʻrtta koʻpaytma
Ishoralar bilan
Kattaroq qavs — oʻsha qoida
(x + 3)(x2 − 2x + 1) da toʻrtta emas, oltita koʻpaytma boʻladi: birinchi qavsda ikki had, ikkinchisida uchta.
Faqat bitta koeffitsient soʻralganda
SAT koʻpincha butun koʻpaytmani emas, bitta hadning koeffitsientini soʻraydi. U holda faqat oʻsha hadni beradigan koʻpaytmalarni hisoblang.
(3x − 2)(x + 4) da x ning koeffitsienti
Faqat ikkita koʻpaytma x beradi: 3x · 4 = 12x va (−2) · x = −2x.
Demak 12 − 2 = 10. Qolgan ikki koʻpaytmani hisoblash shart emas.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- the product of…ning koʻpaytmasi
- expandqavslarni oching
- the coefficient of xx ning koeffitsienti
- which is equivalent toqaysi ifoda teng kuchli
- where a, b and c are constantsa, b va c — sonlar
SAT savollari
SAT-style question 50 s
Which expression is equivalent to (2x + 3)(x − 5)?
- 2x2 − 7x − 15
- 2x2 + 7x − 15
- 2x2 − 13x − 15
- 2x2 − 15
Yechimni koʻrish
Javob: A) 2x2 − 7x − 15
2x·x = 2x2; 2x·(−5) = −10x; 3·x = 3x; 3·(−5) = −15. Oʻrtada −10x + 3x = −7x.
Tekshirish: x = 2 → (7)(−3) = −21, va 8 − 14 − 15 = −21 ✓
SAT-style question 60 s
In the product (3x − 2)(x + 4), what is the coefficient of x?
- −8
- 3
- 10
- 12
Yechimni koʻrish
Javob: C) 10
x hadini faqat ikkita koʻpaytma beradi: 3x · 4 = 12x va (−2) · x = −2x. Demak 12 − 2 = 10.
−8 — oʻzgarmas had (−2 × 4); 12 — faqat bitta koʻpaytma hisoblangan javob.
Koʻpaytirish savolida ikki tez filtr bor:
- Oxirgi son — ikki oxirgi hadning koʻpaytmasi. (2x + 3)(x − 5) uchun 3 × (−5) = −15, va faqat shu bilan yarim javob oʻchadi.
- Birinchi had — ikki bosh hadning koʻpaytmasi: 2x2.
Qolganini oʻrta had ajratadi — va koʻpincha uni hisoblash shart ham boʻlmaydi.
(x + 3)(x + 5) = x2 + 15
x2 + 8x + 15
Oʻrtadagi ikki koʻpaytma unutilgan. Koʻpaytirish faqat «birinchini birinchiga, oxirgini oxirgiga» degani emas.
(x + 5)2 = x2 + 25
x2 + 10x + 25
Kvadrat — bu (x + 5)(x + 5), demak oʻrtada 5x + 5x = 10x ham bor. Bu SAT'dagi eng qadimiy xato.
Mashq
1 Expand: (x + 2)(x + 7)
Javobni koʻrish
x2 + 9x + 14 — oʻrtada 7x + 2x = 9x.
2 Expand: (x − 4)(x + 4)
Javobni koʻrish
x2 − 16 — oʻrtadagi hadlar (+4x va −4x) bir-birini yoʻqotadi. Bu SAT-30 dagi kvadratlar ayirmasi.
3 Expand: (2x + 1)(3x − 2)
Javobni koʻrish
6x2 − x − 2 — oʻrtada −4x + 3x = −x.
4 Expand: (x + 5)2
Javobni koʻrish
x2 + 10x + 25 — kvadratni ikki qavs deb yozing va FOIL qiling.
5 A rectangular garden is (x + 3) metres by (x + 5) metres. Write its area as a polynomial.
Javobni koʻrish
x2 + 8x + 15 kvadrat metr. Agar x = 10 boʻlsa: 13 × 15 = 195, va 100 + 80 + 15 = 195 ✓
Key words
- expandqavsni ochish
- productkoʻpaytma
- binomialikkihad
- distributetarqatish (har biriga koʻpaytirish)
- coefficient of xx ning koeffitsienti
- middle termoʻrtadagi had
- constant termoʻzgarmas had
- squaredkvadratga koʻtarilgan
- areayuza
- equivalentteng kuchli
Esda qoladigan uch narsa
- Har bir hadni har bir hadga — FOIL shu qoidaning ikki ikkihad uchun nomi.
- Koʻpaytmalar soni = hadlar sonining koʻpaytmasi (2 × 3 = 6) — eng tez tekshiruv.
- (x + 5)2 ≠ x2 + 25: oʻrtadagi had har doim bor.