SAT-30: Factoring: Difference of Squares and Perfect Square Trinomials
Ikki formula: kvadratlar ayirmasi va toʻliq kvadrat uchhadi. Ularni tanish SAT'da eng tez ochkolardan biri — hatto ogʻzaki hisobda ham.
SAT-30: Factoring: Difference of Squares and Perfect Square Trinomials
Ba'zi koʻphadlar shunchalik tez-tez uchraydiki, ularni ajratishni hisoblamasdan tanib olish kerak. SAT'da ikkitasi boshqalardan koʻra koʻproq chiqadi, va ikkalasi ham bir qarashda taniladigan shaklga ega.
Bu darsdan keyin siz
- kvadratlar ayirmasini bir qarashda ajratasiz;
- toʻliq kvadrat uchhadini tanib olasiz;
- kvadratlar yigʻindisi ajratilmasligini bilasiz;
- bu formulani ogʻzaki hisobda ham ishlatasiz.
Kvadratlar ayirmasi
Ikki toʻliq kvadrat, orasida minus — bu shakl har doim ikki qavsga ajraladi, va oʻrtada hech qanday had yoʻq.
| Ifoda | a va b | Ajratmasi |
|---|---|---|
| x2 − 25 | x va 5 | (x − 5)(x + 5) |
| 9x2 − 16 | 3x va 4 | (3x − 4)(3x + 4) |
| 49x2 − 4 | 7x va 2 | (7x − 2)(7x + 2) |
Nega ishlaydi? Qavslarni oching (SAT-28): (x − 5)(x + 5) = x2 + 5x − 5x − 25, va oʻrtadagi ikki had bir-birini yoʻqotadi. Aynan shu narsa SAT-26 dagi qoʻshma ifodani ham ishlatgan edi.
Toʻliq kvadrat uchhadi
Uchta had, chetlaridagi ikkitasi toʻliq kvadrat, oʻrtadagisi esa aynan ikki karra ularning ildizlari koʻpaytmasi — bu bitta qavsning kvadrati.
Xuddi shunday, x2 − 12x + 36 = (x − 6)2: chetlari x va 6, oʻrtasi 2 × 6 = 12, ishorasi manfiy.
Ogʻzaki hisobdagi foydasi
Formulaning eng chiroyli qoʻllanishi — ikki katta sonning kvadratlari ayirmasi. 512 − 492 ni hisoblash uchun ikkala kvadratni bilish shart emas:
512 − 492 = (51 − 49)(51 + 49) = 2 × 100 = 200
Ikki ayirma, bitta koʻpaytirish — hammasi ogʻzaki.
Tekshiruv: 2,601 − 2,401 = 200 ✓
Exam English — savol qanday soʻraydi
- difference of squareskvadratlar ayirmasi
- perfect square trinomialtoʻliq kvadrat uchhadi
- factor the expressionifodani koʻpaytuvchilarga ajrating
- which of the following is a factor ofquyidagilardan qaysi biri koʻpaytuvchi
- cannot be factoredajratib boʻlmaydi
SAT savollari
SAT-style question 40 s
Which expression is equivalent to 49x2 − 4?
- (7x − 2)(7x + 2)
- (7x − 2)2
- (49x − 4)(x + 1)
- (7x − 4)(7x + 1)
Yechimni koʻrish
Javob: A) (7x − 2)(7x + 2)
49x2 ning ildizi 7x, 4 niki 2 — kvadratlar ayirmasi.
(7x − 2)2 ochilganda 49x2 − 28x + 4 beradi — oʻrtada had paydo boʻladi, bizda esa u yoʻq.
SAT-style question 50 s
Which expression is equivalent to x2 − 14x + 49?
- (x − 7)2
- (x + 7)2
- (x − 7)(x + 7)
- (x − 14)(x + 49)
Yechimni koʻrish
Javob: A) (x − 7)2
Chetlari x va 7; oʻrtasi 2 × 7 = 14 ✓, ishorasi manfiy — demak (x − 7) ning kvadrati.
(x − 7)(x + 7) ochilganda x2 − 49 beradi: oʻrtadagi had yoʻqoladi, bizda esa u bor.
Ajratish savolida shaklni uch savol bilan aniqlang:
- Nechta had bor? Ikkita va orasida minus → kvadratlar ayirmasi.
- Uchta had boʻlsa: chetlari toʻliq kvadratmi?
- Ha boʻlsa: oʻrtadagi had ikki karra ildizlar koʻpaytmasimi? Ha — toʻliq kvadrat; yoʻq — oddiy ajratish (SAT-31).
Va har doim GCF dan boshlang (SAT-29): 2x2 − 18 avval 2(x2 − 9) boʻladi.
x2 + 25 = (x + 5)(x + 5)
x2 + 25 ajratilmaydi.
Oching: (x + 5)(x + 5) = x2 + 10x + 25. Kvadratlar yigʻindisi ajralmaydi — faqat ayirmasi.
9x2 − 16 = (3x − 16)(3x + 16)
(3x − 4)(3x + 4)
Qavsga sonning oʻzi emas, uning ildizi yoziladi: √16 = 4.
Mashq
1 Factor: x2 − 36
Javobni koʻrish
(x − 6)(x + 6) — kvadratlar ayirmasi, ildizlari x va 6.
2 Factor: 4x2 − 9
Javobni koʻrish
(2x − 3)(2x + 3) — √(4x²) = 2x va √9 = 3.
3 Factor: x2 + 8x + 16
Javobni koʻrish
(x + 4)2 — chetlari x va 4, oʻrtasi 2 × 4 = 8 ✓
4 Factor: x2 − 20x + 100
Javobni koʻrish
(x − 10)2 — oʻrtasi 2 × 10 = 20, ishorasi manfiy.
5 Without a calculator, work out 1032 − 972.
Javobni koʻrish
1,200 — (103 − 97)(103 + 97) = 6 × 200. Ikkala kvadratni hisoblash umuman kerak emas.
Key words
- difference of squareskvadratlar ayirmasi
- sum of squareskvadratlar yigʻindisi (ajralmaydi)
- perfect square trinomialtoʻliq kvadrat uchhadi
- a factor of…ning koʻpaytuvchisi
- cannot be factoredajratib boʻlmaydi
- middle termoʻrtadagi had
- square rootkvadrat ildiz
- patternshakl, andoza
- recognisetanib olmoq
- mentallyogʻzaki (hisoblab)
Esda qoladigan uch narsa
- Ikki toʻliq kvadrat va minus → (a − b)(a + b); oʻrtada had boʻlmaydi.
- Uchhadda oʻrtadagi had 2ab boʻlsa → (a ± b)2, ishorasi oʻrtadagi haddan.
- Kvadratlar yigʻindisi ajralmaydi — va bu SAT'ning doimiy tuzogʻi.