Mathematics

SAT-31: Factoring Standard Quadratics (x² + bx + c)

Ikki son toping: koʻpaytmasi c ga, yigʻindisi b ga teng. Keyin koʻpaytma nol qoidasi bilan tenglamaning ildizlarini oling.

powerty

Sen. 4, 2026

0 5 daqiqa 0

SAT-31: Factoring Standard Quadratics (x² + bx + c)

SAT-28 da (x + 3)(x + 4) ni ochib x² + 7x + 12 olgan edik. Endi teskari savol: x² + 7x + 12 berilgan, qavslarni qanday topamiz? Javob bitta jumlada: koʻpaytmasi 12 ga, yigʻindisi 7 ga teng ikki sonni izlaymiz.

Bu darsdan keyin siz

ikki sonni koʻpaytma va yigʻindi boʻyicha topasiz;
ishoralarni c ning ishorasiga qarab darrov aniqlaysiz;
koʻpaytma nol qoidasi bilan tenglamani yechasiz;
«ajratish» va «yechish» bir xil narsa emasligini bilasiz.

The search koʻpaytmasi = c · yigʻindisi = b

Ikki son izlash

x² + 7x + 12 c = 12, b = 7

12 = 1·12, 2·6, 3·4 Koʻpaytuvchi juftlarini yozib chiqdik

3 + 4 = 7 ✓ → (x + 3)(x + 4) Yigʻindisi mos kelgan juftlik — javob

Oʻqituvchi maslahati Juftlarni tartib bilan yozing: 1 dan boshlab. Tasodifiy urinish uch marta koʻp vaqt oladi va bitta juftlikni tashlab ketish ehtimolini oshiradi.

Ishoralarni oldindan bilish

Qavslardagi ishoralarni topishdan oldin aniqlash mumkin — faqat c va b ning ishorasiga qarang:

c	b	Qavslardagi ishoralar	Misol
musbat	musbat	ikkalasi ham +	(x + 3)(x + 4)
musbat	manfiy	ikkalasi ham −	(x − 2)(x − 3)
manfiy	—	bittasi +, bittasi −	(x + 5)(x − 3)

Oʻzbekcha c manfiy boʻlsa, ishoralar har xil — va kattaroq son b ning ishorasini oladi. x² + 2x − 15 da 5 va 3 kerak, va b musbat boʻlgani uchun +5 va −3: (x + 5)(x − 3).

Misol 2 — ikkala ishora ham manfiy

x² − 5x + 6 c musbat, b manfiy → ikkala son ham manfiy

(x − 2)(x − 3) (−2)(−3) = 6 ✓ va −2 + (−3) = −5 ✓

Ajratishdan yechishga: koʻpaytma nol qoidasi

Agar ikki sonning koʻpaytmasi nolga teng boʻlsa, ulardan kamida bittasi nolga teng. Boshqa yoʻli yoʻq.

Shuning uchun tenglamani yechish uchun avval bir tomonni nolga keltiramiz, keyin ajratamiz, keyin har bir qavsni alohida nolga tenglashtiramiz.

x² + 7x + 12 = 0 Oʻng tomon allaqachon nol

(x + 3)(x + 4) = 0 Ajratdik

x = −3 yoki x = −4 Har bir qavs nolga tenglashtirildi — ishora almashadi

Ehtiyot boʻling Ildizlar qavsdagi sonlarning qarama-qarshisi: (x + 3) qavsi x = −3 ni beradi. Bu SAT'dagi eng koʻp uchraydigan bir belgilik xato, va tuzoq javob har doim variantlar orasida turadi.

Exam English — savol qanday soʻraydi

factor the expressionifodani ajrating — javob koʻpaytma
the solutions to the equationtenglamaning yechimlari (ildizlari)
the zeros of the functionfunksiyaning nollari — bir xil narsa
which is a factor ofqaysi biri koʻpaytuvchi
the sum of the solutionsyechimlar yigʻindisi

SAT savollari

SAT-style question 45 s

Which expression is equivalent to x² + 9x + 20?

(x + 2)(x + 10)
(x + 4)(x + 5)
(x − 4)(x − 5)
(x + 9)(x + 20)

Yechimni koʻrish

Javob: B) (x + 4)(x + 5)

20 = 4 × 5, va 4 + 5 = 9 ✓

(x + 2)(x + 10) — koʻpaytmasi 20, lekin yigʻindisi 12. Ikkala shart ham bajarilishi kerak.

Tuzoq javob (x + 2)(x + 10) Faqat koʻpaytma tekshirilgan. Ochib koʻring: x² + 12x + 20 — oʻrtadagi had mos emas.

SAT-style question 60 s

What are the solutions to x² − 3x − 10 = 0?

x = −5 and x = 2
x = −2 and x = 5
x = 2 and x = 5
x = −2 and x = −5

Yechimni koʻrish

Javob: B) x = −2 va x = 5

c = −10 manfiy, demak ishoralar har xil; kerakli juftlik −5 va +2? Tekshiramiz: (−5)(2) = −10 ✓ lekin −5 + 2 = −3 ✓ — demak qavslar (x − 5)(x + 2).

Nollar: x = 5 va x = −2 — qavsdagi sonlarning qarama-qarshisi.

Tekshiruv: 25 − 15 − 10 = 0 ✓ va 4 + 6 − 10 = 0 ✓

Tuzoq javob x = −5 and x = 2 Ishoralar almashtirilmagan: qavslar (x − 5)(x + 2) edi, demak ildizlar +5 va −2. Har doim asl tenglamaga qoʻyib tekshiring.

Test-day taktikasi

Ildizlar soʻralganda ajratishga urinmasangiz ham boʻladi:

Javoblardagi sonlarni asl tenglamaga qoʻying.
Nol chiqsa — u ildiz.
Ikkala soni ham nol beradigan variant — javob.

Bu koʻpincha ajratishdan tezroq va ishora xatosini butunlay chetlab oʻtadi.

(x + 3)(x + 4) = 0 → x = 3 va x = 4

x = −3 va x = −4

Qavsni nolga tenglashtiring: x + 3 = 0 → x = −3.

x² + 5x = 14 → (x + 7)(x − 2) = 14

Avval nolga keltiring: x² + 5x − 14 = 0

Koʻpaytma nol qoidasi faqat nol uchun ishlaydi. 14 ni koʻp xil yoʻl bilan koʻpaytmaga ajratish mumkin.

Oʻzbekcha «Ajratish» va «yechish» bir xil emas. Ajratish — ifodani koʻpaytmaga aylantirish; yechish — tenglamaning ildizlarini topish. SAT ikkalasini ham soʻraydi va javoblari boshqa-boshqa: (x + 3)(x + 4) va x = −3, −4.

Oʻzbekcha Ajratishni teskari tekshirish odat qiling: javobni oching va asl ifoda chiqishiga ishonch hosil qiling. Bu 10 soniya oladi va SAT'dagi eng koʻp yoʻqotiladigan ballarni saqlab qoladi.

Mashq

1 Factor: x² + 8x + 15

Javobni koʻrish

(x + 3)(x + 5) — 3 × 5 = 15 va 3 + 5 = 8.

2 Factor: x² − 7x + 10

Javobni koʻrish

(x − 2)(x − 5) — c musbat, b manfiy, demak ikkala son ham manfiy.

3 Factor: x² + 3x − 18

Javobni koʻrish

(x + 6)(x − 3) — c manfiy, demak ishoralar har xil; kattarogʻi (+6) b ning ishorasini oladi.

4 Solve: x² − 2x − 8 = 0

Javobni koʻrish

x = 4 yoki x = −2 — (x − 4)(x + 2) = 0. Tekshiruv: 16 − 8 − 8 = 0 ✓

5 A rectangle has an area of 40 square metres and a perimeter of 26 metres. What are its side lengths?

Javobni koʻrish

5 va 8 metr — yarim perimetr 13, demak yigʻindisi 13, koʻpaytmasi 40 boʻlgan ikki son kerak.

Key words

quadratickvadrat (ikkinchi darajali)
factorkoʻpaytuvchilarga ajratmoq
solutions / rootsyechimlar / ildizlar
zeros of the functionfunksiyaning nollari
zero product propertykoʻpaytma nol qoidasi
factor pairskoʻpaytuvchi juftliklari
set equal to zeronolga tenglashtirmoq
opposite signqarama-qarshi ishora
substitute to checktekshirish uchun oʻrniga qoʻymoq
sum of the solutionsyechimlar yigʻindisi

Esda qoladigan uch narsa

Ikki son izlang: koʻpaytmasi c, yigʻindisi b.
Ishoralarni c hal qiladi: musbat → bir xil, manfiy → har xil.
Ildizlar qavsdagi sonlarning qarama-qarshisi, va tenglama avval nolga keltiriladi.

Rivojlanishni kuzatish uchun kiring

Foydali bo'ldimi? Yoqdi 0 Yoqmadi 0 Baholash uchun kiring

Barcha darsliklar

powerty

Muallif · Staff

Sen. 4, 2026 Sen. 4, 2026

Ko'rishlar

Yoqishlar

O'qildi