SAT-29: Factoring: Greatest Common Factor (GCF) and Grouping
Koʻpaytirishning teskarisi. Har doim umumiy koʻpaytuvchidan boshlanadi, toʻrt hadli ifodada esa guruhlash usuli qoʻllanadi.
SAT-29: Factoring: Greatest Common Factor (GCF) and Grouping
SAT-28 da qavslarni ochdik. Endi teskari yoʻnalishda yuramiz: berilgan ifodani koʻpaytmaga aylantiramiz. Bu ish factoring deb ataladi va Blok B ning yarmi shunga tayanadi — kvadrat tenglamalar, ratsional ifodalar, grafiklarning nollari. Va u har doim bitta qadamdan boshlanadi.
Bu darsdan keyin siz
- eng katta umumiy koʻpaytuvchini (GCF) topasiz — son va harf boʻyicha;
- uni qavs oldiga chiqarasiz va tekshirasiz;
- toʻrt hadli ifodani guruhlash bilan ajratasiz;
- «toʻliq ajratilgan» va «yarim ajratilgan» javobni farqlaysiz.
GCF — son va harf alohida
Umumiy koʻpaytuvchini ikki bosqichda toping: avval sonlarning eng katta umumiy boʻluvchisi, keyin har bir harfning eng kichik darajasi.
Ikki harfli misol
Toʻrt had — guruhlash
Toʻrtta hadning hammasida umumiy koʻpaytuvchi boʻlmasligi mumkin. Unda ularni ikkitadan guruhlab, har guruhdan alohida GCF chiqaramiz — va agar qavs ichidagilar bir xil boʻlsa, ish bitdi.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- factor completelytoʻliq ajrating — yarim ajratilgan javob notoʻgʻri
- the greatest common factoreng katta umumiy koʻpaytuvchi
- which is equivalent toqaysi ifoda teng kuchli
- by groupingguruhlash usuli bilan
- where a and b are integersa va b — butun sonlar
SAT savollari
SAT-style question 50 s
Which expression shows 8x3 + 12x2 factored completely?
- 2x2(4x + 6)
- 4x(2x2 + 3x)
- 4x2(2x + 3)
- 4x2(2x + 12)
Yechimni koʻrish
Javob: C) 4x2(2x + 3)
Sonlar 8 va 12 → EKUB 4; harflar x3 va x2 → x2.
Tekshiruv: 4x2 · 2x = 8x3 ✓ va 4x2 · 3 = 12x2 ✓
SAT-style question 75 s
Which expression is equivalent to x3 + 3x2 + 2x + 6?
- (x − 3)(x2 + 2)
- (x + 2)(x2 + 3)
- (x + 3)(x2 − 2)
- (x + 3)(x2 + 2)
Yechimni koʻrish
Javob: D) (x + 3)(x2 + 2)
Guruhlaymiz: x2(x + 3) + 2(x + 3), keyin (x + 3) ni oldinga chiqaramiz.
Tekshirish uchun qavslarni oching yoki x = 1 qoʻying: asl ifoda 1 + 3 + 2 + 6 = 12, va (4)(3) = 12 ✓
Ajratish savollarida javoblarni koʻpaytirib tekshirish har doim tezroq:
- Javobdagi qavslarni oching (SAT-28).
- Asl ifoda chiqsa — javob shu.
- Ikkitasi ham toʻgʻri chiqsa, «completely» soʻziga qarang: qavs ichida umumiy koʻpaytuvchi qolgani javob emas.
Yoki bitta son qoʻying: x = 1 koʻpincha yetadi va 10 soniya oladi.
6x3 + 9x2 = 3x3(2 + 3)
3x2(2x + 3)
Harfning eng kichik darajasi chiqariladi. x3 ni chiqarsangiz, ikkinchi hadda x qolmaydi.
5x2 − 15x = 5x(x − 15)
5x(x − 3)
15x ni 5x ga boʻlganda 3 chiqadi, 15 emas. Har doim qavsni ochib tekshiring.
Mashq
1 Factor: 6x + 9
Javobni koʻrish
3(2x + 3) — 6 va 9 ning EKUBi 3.
2 Factor: 5x2 − 15x
Javobni koʻrish
5x(x − 3) — son 5, harf x (eng kichik daraja).
3 Factor: 12x2y − 18xy2
Javobni koʻrish
6xy(2x − 3y) — 12 va 18 ning EKUBi 6, har ikki harfdan bittadan.
4 Factor by grouping: x3 + 4x2 + 3x + 12
Javobni koʻrish
(x + 4)(x2 + 3) — x2(x + 4) + 3(x + 4).
5 A rectangle has an area of 2x2 + 6x. Write its dimensions as a product.
Javobni koʻrish
2x(x + 3) — tomonlari 2x va (x + 3) boʻlishi mumkin. Ajratish geometriyada «tomonlarni topish» degani.
Key words
- factorkoʻpaytuvchilarga ajratmoq
- factor completelytoʻliq ajratmoq
- greatest common factoreng katta umumiy koʻpaytuvchi
- groupingguruhlash usuli
- common factorumumiy koʻpaytuvchi
- expand to checktekshirish uchun qavsni ochish
- lowest powereng kichik daraja
- dimensionsoʻlchamlar (tomonlar)
- productkoʻpaytma
- equivalentteng kuchli
Esda qoladigan uch narsa
- GCF har doim birinchi: sonlar uchun EKUB, harflar uchun eng kichik daraja.
- Toʻrt had boʻlsa — ikkitadan guruhlang; qavs ichidagilar bir xil chiqishi kerak.
- Javobni qavsni ochib tekshiring, va «completely» soʻzini oʻqing.