GMAT-8: Exponents and Roots
Daraja qoidalari, asoslarni bir xil qilish, ildizlarni soddalashtirish va manfiy asos hamda √(a + b) tuzoqlari.
GMAT-8: Exponents and Roots
Daraja va ildiz savollarida GMAT sizdan katta son hisoblashni deyarli hech qachon soʻramaydi. Uning sevimli usuli — har xil asoslarni bitta asosga keltirish: 8, 16 va 32 — hammasi 2 ning darajalari. Buni koʻrsangiz, murakkab koʻrinadigan ifoda bir qatorda yechiladi.
Bu darsdan keyin siz
- daraja qoidalarini (koʻpaytirish, boʻlish, darajaga koʻtarish) adashtirmaysiz;
- asoslarni bir xil qilib, darajali tenglamani yechasiz;
- ildizni soddalashtirasiz: √50 = 5√2;
- manfiy asos va manfiy daraja tuzoqlarini tanib olasiz.
Daraja qoidalari
| Qoida | Misol |
|---|---|
| am × an = am + n | 23 × 24 = 27 |
| am ÷ an = am − n | 38 ÷ 36 = 32 = 9 |
| (am)n = amn | (32)3 = 36 |
| a0 = 1 | 50 = 1 |
| a−n = 1/an | 2−3 = 1/8 |
Asosni bir xil qilish
Ifodani soddalashtirish
Ildizlar
Darajali oʻsish — biznes tilida
GMAT darajalarni koʻpincha oʻsish masalasiga oʻraydi: «doubles every 6 years», «triples each year». Bunday jumlada har bir davr koʻpaytirishdir: 4 davr — 24 = 16 baravar. Davrlar sonini toping (24 yil ÷ 6 yil = 4), keyin asosni shu darajaga koʻtaring. Teskari savol ham uchraydi: ikki yilda 9 baravar oʻsgan boʻlsa, har yili 3 baravar oʻsgan, chunki 32 = 9 — bu yerda daraja emas, ildiz kerak.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- exponent / powerdaraja koʻrsatkichi
- baseasos
- square rootkvadrat ildiz
- doubles every 6 yearshar 6 yilda ikki baravar oshadi — darajali oʻsish
- in simplest formeng sodda koʻrinishda
GMAT savollari
GMAT-style question 45 s
If 2x = 84, what is the value of x?
- 7
- 8
- 12
- 16
- 32
Yechimni koʻrish
Javob: C) 12
84 = (23)4 = 212, demak x = 12.
7 — darajalarni koʻpaytirish oʻrniga qoʻshgan javob (3 + 4).
GMAT-style question 75 s
What is the value of (35 × 33) ÷ 93?
- 1/3
- 1
- 3
- 9
- 27
Yechimni koʻrish
Javob: D) 9
38 ÷ 36 = 32 = 9.
1/3 — 93 ni 39 deb yozgan javob: asos va daraja koʻpaytirib yuborilgan.
Darajali savolda hamma narsani eng kichik asosga keltiring:
- 4, 8, 16, 32 → 2; 9, 27, 81 → 3; 25, 125 → 5;
- koʻpaytirish va boʻlishni darajalar ustida bajaring;
- oxirida faqat kichik darajani hisoblang (32 = 9).
23 + 23 = 26
23 + 23 = 2 × 23 = 24
Qoʻshishda darajalar qoʻshilmaydi.
√(9 + 16) = 3 + 4 = 7
√25 = 5
Ildiz yigʻindiga boʻlinmaydi — avval yigʻindini hisoblang.
Mashq
1 What is 53 × 5−1?
Javobni koʻrish
25 — 53 − 1 = 52.
2 Simplify √72.
Javobni koʻrish
6√2 — 72 = 36 × 2.
3 What is 210?
Javobni koʻrish
1,024 — buni yodlab qoʻying, 210 ≈ 1,000.
4 What is (−3)3?
Javobni koʻrish
Manfiy 27 — toq daraja manfiy ishorani saqlaydi.
5 An investment of $5,000 doubles every 6 years. What is it worth after 24 years?
Javobni koʻrish
$80,000 — 24 ÷ 6 = 4 marta ikki baravar: 5,000 × 24.
Kalit soʻzlar
- exponentdaraja koʻrsatkichi
- baseasos
- powerdaraja
- square rootkvadrat ildiz
- perfect squaretoʻliq kvadrat
- to doubleikki baravar oshmoq
- to tripleuch baravar oshmoq
- growth factoroʻsish koeffitsiyenti
Esda qoldiring
- Koʻpaytirishda darajalar qoʻshiladi, darajaga koʻtarishda koʻpaytiriladi.
- Asoslarni bir xil qiling: 8 = 23, 9 = 32.
- a0 = 1, a−n = 1/an.
- √(a + b) ≠ √a + √b; √50 = 5√2.
- (−2)4 = 16, −24 = −16 — qavs hal qiladi.