GMAT-9: Units Digits and Cyclicity
Koʻpaytma va darajaning oxirgi raqami, 4 lik va 2 lik sikllar, qoldiq 0 tuzogʻi va faktorialning oxiridagi nollar.
GMAT-9: Units Digits and Cyclicity
«What is the units digit of 742?» — bu sonda 36 ta raqam bor, lekin oxirgi raqamini topish uchun bitta raqam bilan ishlash kifoya. Darajalarning oxirgi raqamlari takrorlanadi, va GMAT aynan shu takrorlanishni (cyclicity) bilishingizni tekshiradi.
Bu darsdan keyin siz
- koʻpaytmaning oxirgi raqamini faqat oxirgi raqamlar bilan topasiz;
- 2, 3, 7, 8 ning 4 lik siklini va 4, 9 ning 2 lik siklini bilasiz;
- katta darajaning oxirgi raqamini daraja ÷ 4 qoldigʻi bilan topasiz;
- faktorialning oxiridagi nollarni sanaysiz.
Faqat oxirgi raqam muhim
Oxirgi raqamlar sikli
| Oxirgi raqam | Darajalari (sikl uzunligi) |
|---|---|
| 2 | 2, 4, 8, 6 (4) |
| 3 | 3, 9, 7, 1 (4) |
| 7 | 7, 9, 3, 1 (4) |
| 8 | 8, 4, 2, 6 (4) |
| 4 | 4, 6 (2) |
| 9 | 9, 1 (2) |
| 0, 1, 5, 6 | oʻzgarmaydi (1) |
Oxiridagi nollar
Exam English — savol qanday soʻraydi
- units digitbirlar xonasidagi raqam — oxirgi raqam
- tens digitoʻnlar xonasidagi raqam
- trailing zerosoxiridagi nollar
- n! (n factorial)1 × 2 × … × n
- ends in… bilan tugaydi
GMAT savollari
GMAT-style question 45 s
What is the units digit of 742?
- 1
- 3
- 5
- 7
- 9
Yechimni koʻrish
Javob: E) 9
Sikl 7, 9, 3, 1; 42 ÷ 4 qoldiq 2 → ikkinchi element, 9.
1 — «juft daraja — 1» deb oʻylagan javob. Bu faqat 4 ga boʻlinadigan darajada toʻgʻri.
GMAT-style question 60 s
How many zeros are at the end of 30!, the product of the integers from 1 to 30?
- 3
- 6
- 7
- 10
- 30
Yechimni koʻrish
Javob: C) 7
5 ga boʻlinadiganlar: 5, 10, 15, 20, 25, 30 — 6 ta; 25 ikkinchi 5 ni beradi. Jami 7.
6 — 25 dagi ikkinchi 5 ni unutgan javob. 3 — faqat 10, 20, 30 ni sanagan.
Oxirgi raqam savolida:
- asosning faqat oxirgi raqamini oling (2317 → 317);
- sikl uzunligini toping (koʻpincha 4);
- daraja ÷ sikl qoldigʻi = oʻrin; qoldiq 0 → oxirgi oʻrin.
240 → qoldiq 0 → birinchi oʻrin → 2
qoldiq 0 → toʻrtinchi oʻrin → 6
4 ga boʻlinadigan daraja siklning oxiriga tushadi: 24 = 16.
25! → 25 ÷ 5 = 5 ta nol
5 + 1 = 6 ta nol
25 ning oʻzi ikkita 5 beradi.
Mashq
1 What is the units digit of 37?
Javobni koʻrish
7 — sikl 3, 9, 7, 1; 7 ÷ 4 qoldiq 3.
2 What is the units digit of 24 × 37 × 58?
Javobni koʻrish
4 — 4 × 7 → 8, 8 × 8 → 4.
3 What is the units digit of 220?
Javobni koʻrish
6 — 20 ÷ 4 qoldiq 0, siklning oxiri.
4 How many zeros are at the end of 50!?
Javobni koʻrish
12 — 50 ÷ 5 = 10, 50 ÷ 25 = 2.
5 What is the units digit of 133 + 222?
Javobni koʻrish
1 — 7 + 4 = 11.
Kalit soʻzlar
- units digitoxirgi (birlar) raqami
- tens digitoʻnlar raqami
- cyclicitytakrorlanish, sikllilik
- patternqonuniyat
- factorialfaktorial
- trailing zerosoxiridagi nollar
- productkoʻpaytma
- serial numbertartib raqami
Esda qoldiring
- Oxirgi raqam faqat oxirgi raqamlardan chiqadi — qolganini tashlang.
- 2, 3, 7, 8 — sikl 4; 4, 9 — sikl 2; 0, 1, 5, 6 — oʻzgarmaydi.
- Daraja ÷ 4 qoldigʻi — sikldagi oʻrin; qoldiq 0 — oxirgi oʻrin.
- n! dagi nollar: n ÷ 5 + n ÷ 25 + … (butun qismlar).
- Yigʻindida har bir hadning oxirgi raqamini alohida toping.