GMAT-18: Inequalities and Absolute Value
Tengsizliklar va belgi oʻgirilishi, qoʻsh tengsizlik, modul — masofa sifatida, butun yechimlarni sanash.
GMAT-18: Inequalities and Absolute Value
Tengsizlik tenglamaga oʻxshab yechiladi — bitta istisno bilan: manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlishda belgi teskarisiga oʻgiriladi. Modul (absolute value) esa masofa: |x − 3| — x dan 3 gacha boʻlgan masofa. Bu ikki gʻoya bilan GMAT'ning tengsizlik savollarining deyarli hammasi yechiladi.
Bu darsdan keyin siz
- chiziqli tengsizlikni yechib, belgi qachon oʻgirilishini bilasiz;
- qoʻsh tengsizlikni (−3 < 2x + 1 < 9) bir yoʻla yechasiz;
- modulni masofa sifatida oʻqiysiz: |x − 3| < 5;
- tengsizlikni qanoatlantiradigan butun sonlarni sanaysiz.
Belgi oʻgiriladigan yagona holat
Qoʻsh tengsizlik — uchala qismga bir xil amal
Modul — masofa
Butun yechimlarni sanash
Tez yoʻl: a ≤ x ≤ b oraligʻidagi butun sonlar soni b − a + 1. Qatʼiy belgilarda avval chetlarni ichkariga suring: −2 < x < 8 — bu −1 ≤ x ≤ 7, demak 7 − (−1) + 1 = 9. Chet butun son boʻlmasa (−2.5 < x), eng yaqin ichkaridagi butun sonni oling (−2).
Exam English — savol qanday soʻraydi
- at most / no more thankoʻpi bilan — ≤
- at least / no less thankamida — ≥
- within 5 of 33 dan 5 birlikdan oshmagan masofada
- how many integers satisfynechta butun son qanoatlantiradi
- which must be trueqaysi biri har doim toʻgʻri
GMAT savollari
GMAT-style question 60 s
How many integers x satisfy |x − 3| < 5?
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
Yechimni koʻrish
Javob: C) 9
−2 < x < 8: butun sonlar −1, 0, …, 7 — 9 ta.
11 — chetlarni (−2 va 8) ham qoʻshgan javob; belgi qatʼiy.
GMAT-style question 45 s
If −2x + 5 > 11, which of the following must be true?
- x < −3
- x > −3
- x < 3
- x > 3
- x < −8
Yechimni koʻrish
Javob: A) x < −3
−2x > 6; −2 ga boʻlganda belgi oʻgiriladi.
x > −3 — belgini oʻgirishni unutgan javob.
Tengsizlik javobini bitta son bilan tekshiring:
- javob oraligʻidan son oling (masalan, x = −4) — u asl tengsizlikni qanoatlantirishi kerak;
- oraliqdan tashqaridagi sonni oling (x = 0) — u qanoatlantirmasligi kerak;
- ikkalasi mos kelsa, belgi toʻgʻri tomonga qaragan.
−3x ≥ 12 → x ≥ −4
x ≤ −4
Manfiy songa boʻlindi — belgi oʻgiriladi.
|x − 4| = 6 → x = 10
x = 10 yoki x = −2
Markazdan ikki tomonga ham 6 birlik — ikki yechim.
Mashq
1 Solve 3x − 4 > 11.
Javobni koʻrish
5 dan katta sonlar: x > 5.
2 How many values of x satisfy |x| = 7?
Javobni koʻrish
2 ta — 7 va −7.
3 How many integers satisfy −3 < 2x + 1 < 9?
Javobni koʻrish
5 ta — −1, 0, 1, 2, 3.
4 What is the sum of the solutions of |2x − 6| = 10?
Javobni koʻrish
6 — yechimlar 8 va −2.
5 A taxi charges $3 plus $0.50 per kilometer. With $15, what is the greatest distance you can ride?
Javobni koʻrish
24 km — 3 + 0.5k ≤ 15.
Kalit soʻzlar
- inequalitytengsizlik
- absolute valuemodul, mutlaq qiymat
- at mostkoʻpi bilan
- at leastkamida
- strict inequalityqatʼiy tengsizlik (<, >)
- rangeoraliq
- toleranceruxsat etilgan chetlanish
- reverse the signbelgini oʻgirmoq
Esda qoldiring
- Manfiy songa koʻpaytirish yoki boʻlishda belgi oʻgiriladi.
- Qoʻsh tengsizlikda uchala qismga bir xil amal.
- |x − a| — x dan a gacha masofa; = d ikki nuqta, < d ichkari, > d tashqari.
- Qatʼiy belgida chetlar sanalmaydi.
- Javobni oraliq ichidagi va tashqarisidagi bitta son bilan tekshiring.