GMAT-19: Quadratics and Factoring
Kvadrat uchhadni koʻpaytuvchilarga ajratish, nol koʻpaytma qoidasi, maxsus koʻpaytmalar va ildizlar yigʻindisi.
GMAT-19: Quadratics and Factoring
Kvadrat tenglama — GMAT algebrasining markazi. Kalkulyatorsiz imtihonda diskriminant formulasi deyarli kerak boʻlmaydi: tenglamalar koʻpaytuvchilarga ajraladigan qilib tuziladi. Uch narsani bilish yetarli: ikki sonni topib ajratish, nol koʻpaytma qoidasi va uchta maxsus koʻpaytma.
Bu darsdan keyin siz
- x2 + bx + c ni ikki son bilan koʻpaytuvchilarga ajratasiz;
- nol koʻpaytma qoidasi bilan ildizlarni topasiz;
- kvadratlar ayirmasi va toʻla kvadrat formulalarini ikki tomonga qoʻllaysiz;
- ildizlar yigʻindisi va koʻpaytmasini tenglamani yechmasdan aytasiz.
Koʻpaytuvchilarga ajratish — ikki son
Uchta maxsus koʻpaytma
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 — masalan, (x + 3)2 = x2 + 6x + 9;
- (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 — masalan, (x − 5)2 = x2 − 10x + 25;
- a2 − b2 = (a + b)(a − b) — masalan, x2 − 9 = (x + 3)(x − 3).
Exam English — savol qanday soʻraydi
- the sum of all possible values of xx ning barcha mumkin qiymatlari yigʻindisi
- factor / factored formkoʻpaytuvchilarga ajratilgan koʻrinish
- roots / solutionsildizlar / yechimlar
- consecutive positive integersketma-ket musbat butun sonlar
- which of the following could beqaysi biri boʻlishi mumkin
GMAT savollari
GMAT-style question 45 s
If x2 − 5x + 6 = 0, what is the sum of all possible values of x?
- −5
- −1
- 1
- 5
- 6
Yechimni koʻrish
Javob: D) 5
Ildizlar 2 va 3; yigʻindi 5.
6 — ildizlar koʻpaytmasi; −5 — ishorani adashtirgan javob.
GMAT-style question 45 s
If a + b = 10 and a − b = 4, what is the value of a2 − b2?
- 14
- 24
- 40
- 84
- 100
Yechimni koʻrish
Javob: C) 40
a2 − b2 = (a + b)(a − b) = 10 × 4.
14 — yigʻindi va ayirmani qoʻshgan javob.
Kvadratli ifodani koʻrsangiz, maxsus koʻpaytmani qidiring:
- ikki kvadrat ayirmasi — (a + b)(a − b);
- x2 + y2 va xy birga — (x + y)2;
- katta sonlarning kvadratlari ayirmasi — hech qachon kvadratlamang.
(x + 3)2 = x2 + 9
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
Oʻrta had 2ab yoʻqolmaydi.
x2 = 4x → x = 4
x(x − 4) = 0 → x = 0 yoki 4
x ga boʻlish x = 0 yechimni yoʻqotadi.
Mashq
1 Factor x2 + 7x + 12.
Javobni koʻrish
(x + 3)(x + 4) — 3 × 4 = 12, 3 + 4 = 7.
2 How many solutions does x2 = 49 have?
Javobni koʻrish
2 ta — 7 va −7.
3 What is 512 − 492?
Javobni koʻrish
200 — 100 × 2.
4 If (x + y)2 = 50 and xy = 12, what is x2 + y2?
Javobni koʻrish
26 — 50 − 2 × 12.
5 A price of p dollars brings revenue p(100 − p). For which prices is revenue $2,100?
Javobni koʻrish
30 va 70 dollar — p2 − 100p + 2,100 = (p − 30)(p − 70).
Kalit soʻzlar
- quadratic equationkvadrat tenglama
- factorkoʻpaytuvchilarga ajratmoq
- root / solutionildiz / yechim
- difference of squareskvadratlar ayirmasi
- perfect squaretoʻla kvadrat
- expandqavsni ochmoq
- zero productnol koʻpaytma
- revenuetushum
Esda qoldiring
- Ajratish: koʻpaytmasi c, yigʻindisi b boʻlgan ikki son.
- Nol koʻpaytma — faqat oʻng tomon nol boʻlganda.
- (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2; a2 − b2 = (a + b)(a − b).
- Ildizlar yigʻindisi −b, koʻpaytmasi c.
- Hech qachon nomaʼlumga boʻlmang — yechim yoʻqoladi.