GMAT-21: Sequences and Series
Arifmetik va geometrik ketma-ketlik, n-had, hadlar sonini sanash, yigʻindi va rekursiv qoidalar.
GMAT-21: Sequences and Series
Ketma-ketlik — maʼlum qoida bilan yozilgan sonlar qatori. GMAT'da ikki turi ustun: arifmetik (har safar bir xil son qoʻshiladi) va geometrik (har safar bir xil songa koʻpaytiriladi). Biznes tilida bular — har yili bir xil summaga oshadigan maosh va har yili bir xil foizga oʻsadigan tushum. Savollar uch narsani soʻraydi: n-hadni, hadlar sonini va yigʻindini.
Bu darsdan keyin siz
- arifmetik va geometrik ketma-ketlikning istalgan hadini topasiz;
- teng qadamli qatordagi hadlar sonini xatosiz sanaysiz;
- arifmetik qator yigʻindisini «oʻrtacha × soni» bilan hisoblaysiz;
- rekursiv (oldingi hadga tayangan) qoidani qadam-baqadam yozasiz.
Arifmetik ketma-ketlik
Yigʻindi — oʻrtacha × soni
Geometrik ketma-ketlik va rekursiv qoida
Rekursiv qoida keyingi hadni oldingisi orqali beradi: «a1 = 1 va har bir keyingi had oldingisining ikki baravaridan bitta koʻp». Formula izlamang — hadlarni bittalab yozing: 1, 3, 7, 15, 31. GMAT odatda 4–6 ta haddan uzoqqa bormaydi.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- each term after the firstbirinchisidan keyingi har bir had — qoida
- the nth termn-had
- consecutive termsketma-ket hadlar
- the sum of the first 20 termsdastlabki 20 ta had yigʻindisi
- is defined recursivelyoldingi had orqali aniqlanadi
GMAT savollari
GMAT-style question 45 s
What is the sum of the integers from 1 to 50, inclusive?
- 1,250
- 1,275
- 1,300
- 2,500
- 2,550
Yechimni koʻrish
Javob: B) 1,275
50 × 51 ÷ 2 = 1,275.
2,550 — ikkiga boʻlishni unutgan javob: 50 × 51.
GMAT-style question 60 s
In a sequence, the first term is 2 and each term after the first is 3 times the preceding term. What is the sixth term of the sequence?
- 162
- 243
- 486
- 729
- 1,458
Yechimni koʻrish
Javob: C) 486
2, 6, 18, 54, 162, 486 — 2 × 35.
1,458 — 2 × 36: bitta ortiqcha koʻpaytirish.
Ketma-ketlik savolida avval 3–4 hadni yozing:
- qoida aniq koʻrinadi — qadammi yoki koʻpaytuvchimi;
- (n − 1) xatosi tekshiriladi;
- katta had kerak boʻlsa, endi formulaga oʻting: birinchi + (n − 1) × qadam.
Terms from 12 to 96 in steps of 4: (96 − 12) ÷ 4 = 21
(96 − 12) ÷ 4 + 1 = 22
Qadamlar soni + 1 = hadlar soni.
10th term = 3 + 10 × 4 = 43
3 + 9 × 4 = 39
Birinchi haddan oʻninchigacha 9 ta qadam.
Mashq
1 What is the 10th term of 3, 7, 11, …?
Javobni koʻrish
39 — 3 + 9 × 4.
2 What is the sum of the first 20 positive even integers?
Javobni koʻrish
420 — 2 × (1 + 2 + … + 20) = 2 × 210.
3 How many terms are in the sequence 12, 16, 20, …, 96?
Javobni koʻrish
22 — 21 ta qadam va yana bitta.
4 If a1 = 1 and each later term is 1 more than twice the term before it, what is the fifth term?
Javobni koʻrish
31 — 1, 3, 7, 15, 31.
5 A salary starts at $40,000 and rises by $2,500 each year. What is it in the sixth year?
Javobni koʻrish
$52,500 — 40,000 + 5 × 2,500.
Kalit soʻzlar
- sequenceketma-ketlik
- termhad
- arithmetic sequencearifmetik progressiya
- geometric sequencegeometrik progressiya
- common differenceayirma, qadam
- common ratiomaxraj, koʻpaytuvchi
- series / sumyigʻindi
- recursiverekursiv — oldingi had orqali
Esda qoldiring
- n-had: birinchi + (n − 1) × qadam; geometrikda birinchi × koʻpaytuvchin − 1.
- Hadlar soni = (oxirgi − birinchi) ÷ qadam + 1.
- Arifmetik yigʻindi = (birinchi + oxirgi) ÷ 2 × hadlar soni.
- 1 dan n gacha: n(n + 1) ÷ 2; birinchi n ta toq son: n2.
- Rekursiv qoida — hadlarni bittalab yozing.