GMAT-22: Counting — Permutations and Combinations
Koʻpaytirish qoidasi, tartib muhim boʻlgan va boʻlmagan tanlovlar, takrorlanuvchi harflar va «birga» sharti.
GMAT-22: Counting — Permutations and Combinations
«Nechta usul bilan?» — kombinatorika savoli. Javoblar tez kattalashadi, shuning uchun ularni sanab chiqib boʻlmaydi; koʻpaytirish qoidasi va bitta muhim savol kerak: tartib muhimmi? Muhim boʻlsa — oʻrin almashtirish (permutation), muhim boʻlmasa — guruhlash (combination). Shu bitta farq GMAT kombinatorikasining yarmini hal qiladi.
Bu darsdan keyin siz
- bir nechta mustaqil tanlovni koʻpaytirish qoidasi bilan sanaysiz;
- tartib muhim yoki muhim emasligini savol matnidan aniqlaysiz;
- kombinatsiyalar sonini kalkulyatorsiz hisoblaysiz;
- takrorlanuvchi harflar va «yonma-yon oʻtirsin» shartlarini hisobga olasiz.
Koʻpaytirish qoidasi
Oʻrin almashtirish — tartib muhim
Guruhlash — tartib muhim emas
Takrorlanuvchi harflar va «birga» sharti
«LEVEL» soʻzining harflarini necha xil tartibda yozish mumkin? 5 ta harf — 5! = 120, lekin ikkita L va ikkita E oʻz oʻrnini almashtirsa, yangi soʻz chiqmaydi. Shuning uchun 120 ni 2! × 2! = 4 ga boʻlamiz: 30. «Ikki kishi yonma-yon oʻtirsin» shartida esa ularni bitta «blok» deb hisoblang, keyin blok ichidagi 2 xil tartibni koʻpaytiring.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- in how many different waysnecha xil usulda
- arrangementstartiblar — oʻrin muhim
- a committee / a group / a team of 3qoʻmita / guruh — tartib muhim emas
- without repetitiontakrorlanmasdan
- must sit next to each otheryonma-yon oʻtirishi shart
GMAT savollari
GMAT-style question 45 s
In how many different ways can a committee of 3 people be chosen from a group of 7 people?
- 21
- 35
- 42
- 210
- 343
Yechimni koʻrish
Javob: B) 35
7 × 6 × 5 ÷ (3 × 2 × 1) = 35.
210 — tartibni hisobga olgan javob; qoʻmitada oʻrinlar yoʻq.
GMAT-style question 60 s
A product code consists of 3 different letters chosen from A, B, C, D and E, followed by a single digit from 0 to 9. How many different codes are possible?
- 60
- 125
- 600
- 1,250
- 6,000
Yechimni koʻrish
Javob: C) 600
5 × 4 × 3 × 10 = 600.
1,250 — harflar takrorlanishi mumkin deb hisoblangan javob (5 × 5 × 5 × 10).
Har bir sanash savolida ikki savol bering:
- takrorlanish mumkinmi? (mumkin — har oʻrinda bir xil son; mumkin emas — kamayib boradi);
- tartib muhimmi? (muhim emas — tartiblar soniga boʻling);
- javobni kichik misolda tekshiring: 3 kishidan 2 kishilik guruh — AB, AC, BC, yaʼni 3 = C(3, 2).
Team of 2 from 10: 10 × 9 = 90
10 × 9 ÷ 2 = 45
Jamoada AB va BA — bitta jamoa.
Arrangements of LEVEL: 5! = 120
5! ÷ (2! × 2!) = 30
Bir xil harflarning oʻrin almashishi yangi soʻz bermaydi.
Mashq
1 A man has 4 shirts and 3 pairs of trousers. How many different outfits can he make?
Javobni koʻrish
12 — 4 × 3.
2 What is 5! (5 factorial)?
Javobni koʻrish
120 — 5 × 4 × 3 × 2 × 1.
3 In how many ways can 2 people be chosen from 6?
Javobni koʻrish
15 — 6 × 5 ÷ 2.
4 How many different arrangements of the letters of LEVEL are there?
Javobni koʻrish
30 — 120 ÷ 4.
5 In how many ways can gold, silver and bronze medals be awarded among 8 runners?
Javobni koʻrish
336 — 8 × 7 × 6.
Kalit soʻzlar
- permutationoʻrin almashtirish — tartib muhim
- combinationguruhlash — tartib muhim emas
- factorialfaktorial
- arrangementtartib, joylashuv
- committeeqoʻmita
- without repetitiontakrorlanmasdan
- outcomenatija
- codekod
Esda qoldiring
- «Va» — koʻpaytirish, «yoki» — qoʻshish.
- Takrorlanmasa — har oʻrinda tanlov bittaga kamayadi.
- Tartib muhim emas — tartiblar soniga (k!) boʻling: C(7, 3) = 35.
- C(n, 2) = n(n − 1) ÷ 2; C(n, k) = C(n, n − k).
- Bir xil harflar — har bir guruh faktorialiga boʻling; «birga» — blok deb oling.