GMAT-23: Probability
Qulay ÷ jami, «kamida bittasi» uchun teskari hodisa, mustaqil hodisalar va qaytarmasdan olish.
GMAT-23: Probability
Ehtimollik — kombinatorikaning davomi: qulay natijalar ÷ barcha natijalar. GMAT'dagi ehtimollik savollari uch gʻoyaga tayanadi: «kamida bittasi» uchun teskari hodisa, mustaqil hodisalar uchun koʻpaytirish va qaytarmasdan olishda maxrajning kamayishi. Bu dars uchalasini biznes misollari bilan koʻrsatadi.
Bu darsdan keyin siz
- oddiy ehtimollikni qulay ÷ jami deb hisoblaysiz;
- «kamida bittasi» savolini 1 − «hech biri» bilan yechasiz;
- mustaqil hodisalarda koʻpaytirasiz, bir-birini istisno qiluvchilarda qoʻshasiz;
- qaytarmasdan olishda har qadamda maxrajni kamaytirasiz.
Qaytarmasdan olish
Kamida bittasi — teskari hodisa
Koʻpaytirish yoki qoʻshish
Ehtimollik va kombinatorika — ikki yoʻl, bir javob
Qaytarmasdan olishni kombinatsiyalar bilan ham hisoblash mumkin. 3 qizil va 5 koʻk shardan 2 tasini olishning jami C(8, 2) = 28 usuli bor; ikkalasi qizil boʻladigan usullar C(3, 2) = 3. Ehtimollik 3/28 — ketma-ket koʻpaytirish bilan aynan bir xil natija. Qaysi yoʻl qulayroq boʻlsa, oʻshani tanlang; ikkinchisi tekshiruv boʻlib xizmat qiladi. «Aynan bittasi nuqsonli» kabi savollarda kombinatsiya yoʻli ayniqsa qulay, chunki tartibni alohida oʻylash shart emas: 2 ta nuqsonli va 8 ta yaroqli chipdan 2 tasini olsak, mos juftlar 2 × 8 = 16, jami C(10, 2) = 45, yaʼni 16/45.
Exam English — savol qanday soʻraydi
- at randomtasodifiy ravishda
- without replacementqaytarmasdan
- at least onekamida bittasi — 1 − hech biri
- independent eventsmustaqil hodisalar — koʻpaytiriladi
- mutually exclusivebir-birini istisno qiladi — qoʻshiladi
GMAT savollari
GMAT-style question 60 s
A bag contains 3 red balls and 5 blue balls. If two balls are drawn at random without replacement, what is the probability that both are red?
- 3/64
- 3/28
- 9/64
- 3/16
- 3/8
Yechimni koʻrish
Javob: B) 3/28
3/8 × 2/7 = 3/28.
9/64 — sharni qaytarib olgan deb hisoblangan javob (3/8 × 3/8).
GMAT-style question 45 s
A fair coin is tossed 3 times. What is the probability of getting at least one head?
- 1/8
- 3/8
- 1/2
- 3/4
- 7/8
Yechimni koʻrish
Javob: E) 7/8
1 − (1/2)3 = 7/8.
3/8 — aynan bitta gerb chiqish ehtimoli; «at least» ikki va uch gerbni ham oʻz ichiga oladi.
Ehtimollik javobini mantiq bilan tekshiring:
- javob har doim 0 va 1 orasida;
- «ikkalasi ham» har bir alohida ehtimoldan kichik;
- «kamida bittasi» har bir alohida ehtimoldan katta.
P(at least one 6 in two rolls) = 1/6 + 1/6 = 1/3
1 − (5/6)2 = 11/36
Ikkala zarda ham 6 chiqishi ikki marta sanaldi.
Two without replacement: 3/8 × 3/8
3/8 × 2/7
Ikkinchi olishda jami ham, qulay ham kamayadi.
Mashq
1 What is the probability of rolling a number greater than 4 on a fair die?
Javobni koʻrish
1/3 — 5 yoki 6: 2/6.
2 Two fair dice are rolled. What is the probability that the sum is 7?
Javobni koʻrish
1/6 — 36 natijadan 6 tasi.
3 The probability of rain is 0.3. What is the probability of no rain?
Javobni koʻrish
0.7 — 1 − 0.3.
4 Independent events A and B have probabilities 0.5 and 0.4. What is the probability that both occur?
Javobni koʻrish
0.2 — 0.5 × 0.4.
5 20% of invoices contain an error. Two are checked independently. What is the probability that neither contains an error?
Javobni koʻrish
0.64 — 0.8 × 0.8.
Kalit soʻzlar
- probabilityehtimollik
- outcomenatija
- eventhodisa
- independentmustaqil
- mutually exclusivebir-birini istisno qiluvchi
- complementteskari hodisa
- at randomtasodifiy
- fair coin / fair dietoʻgʻri tanga / toʻgʻri zar
Esda qoldiring
- Ehtimollik = qulay ÷ jami; har doim 0 dan 1 gacha.
- Kamida bittasi = 1 − hech biri.
- Mustaqil hodisalar — koʻpaytiriladi; bir vaqtda boʻlolmaydiganlar — qoʻshiladi.
- Qaytarmasdan olishda har qadamda maxraj (va qulay) kamayadi.
- «Exactly one» ≠ «at least one».