SAT-39: Radical Equations and Extraneous Solutions
Ikkala tomonni kvadratga koʻtarish yechim qoʻshib yuborishi mumkin. Shuning uchun tekshirish — qoʻshimcha emas, yechimning bir qismi.
SAT-39: Radical Equations and Extraneous Solutions
Ildizli tenglamani yechish oson: ikkala tomonni kvadratga koʻtaring. Lekin bu amalning xavfli tomoni bor — u tenglamaga asli unda boʻlmagan yechim qoʻshib yuborishi mumkin. Shuning uchun bu darsda tekshirish ixtiyoriy emas.
Bu darsdan keyin siz
- ildizni yolgʻiz qoldirib, kvadratga koʻtarasiz;
- hosil boʻlgan kvadrat tenglamani yechasiz;
- har bir ildizni asl tenglamaga qoʻyib tekshirasiz;
- begona ildiz nima uchun paydo boʻlishini tushuntirasiz.
Nima uchun begona ildiz paydo boʻladi
Sabab bitta va juda oddiy. −2 va 2 har xil sonlar, lekin ularning kvadrati bir xil. Kvadratga koʻtarganda bu farq yoʻqoladi, va tenglama endi ikkalasini ham qabul qiladi.
Yana bir narsa: √ belgisi har doim manfiy boʻlmagan sonni bildiradi. √9 = 3, va faqat 3. Shuning uchun √(biror narsa) manfiy songa teng boʻla olmaydi — qanday hisoblasangiz ham.
Toʻliq yechim, tekshiruv bilan
Tekshiramiz — bu qadam majburiy
x = 3: chap tomon √(3 + 6) = 3, oʻng tomon 3 ✓
x = −2: chap tomon √(−2 + 6) = √4 = 2, oʻng tomon −2 ✗
Chap tomonda ikki had boʻlsa
Exam English — savol qanday soʻraydi
- extraneous solutionbegona ildiz — tekshiruvdan oʻtmaydigani
- which value satisfies the equationqaysi qiymat tenglamani qanoatlantiradi
- the sum of all solutionsbarcha yechimlar yigʻindisi (faqat haqiqiylarniki)
- square both sidesikkala tomonni kvadratga koʻtaring
- no solutionyechim yoʻq — hammasi begona chiqqan hol
SAT savollari
SAT-style question 75 s
What is the solution to √(2x + 3) = x?
- x = 3
- x = 3 and x = −1
- x = −1
- There is no solution
Yechimni koʻrish
Javob: A) x = 3
2x + 3 = x2 → x2 − 2x − 3 = 0 → x = 3 yoki −1.
Tekshiruv: x = 3 da √9 = 3 ✓. x = −1 da √1 = 1, lekin oʻng tomon −1 ✗ — begona ildiz.
SAT-style question 85 s
How many solutions does the equation √(x + 5) = x − 1 have?
- One
- Two
- Zero
- Infinitely many
Yechimni koʻrish
Javob: A) One
x + 5 = x2 − 2x + 1 → x2 − 3x − 4 = 0 → x = 4 yoki −1.
x = 4: √9 = 3 va 4 − 1 = 3 ✓. x = −1: √4 = 2, lekin −1 − 1 = −2 ✗
Demak bitta yechim — savol «nechta» deb soʻragani bejiz emas.
Ildiz belgisi koʻringan zahoti uch qadamni yozing:
- Kvadratga koʻtaring va yeching;
- Har bir ildizni asl tenglamaga qoʻying — soddalashtirilganiga emas;
- Oʻng tomoni manfiy chiqqanini oʻchiring.
Javoblar son boʻlsa, ulardan boshlang: bitta qoʻyish 60 soniya yechishdan tez.
√(x + 6) = x → x = 3 va x = −2
Faqat x = 3
x = −2 tekshiruvdan oʻtmaydi: √4 = 2, −2 emas.
√(x + 7) = x + 1 → x + 7 = x2 + 1
x + 7 = x2 + 2x + 1
(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 — oʻrtadagi had tushib qolgan (SAT-30).
Mashq
1 Solve: √(x + 2) = x
Javobni koʻrish
x = 2 — x = −1 begona: √1 = 1, −1 emas.
2 Solve: √(3x + 4) = x
Javobni koʻrish
x = 4 — x = −1 tekshiruvdan oʻtmaydi.
3 How many solutions does √x = −3 have?
Javobni koʻrish
Hech qanday — √ belgisi manfiy son bermaydi. Kvadratga koʻtarsangiz x = 9 chiqadi, lekin √9 = 3 ≠ −3.
4 Solve: √(x + 5) = x − 1
Javobni koʻrish
x = 4 — x = −1 begona.
5 Why must every solution of a radical equation be checked?
Javobni koʻrish
Kvadratga koʻtarish ishorani yoʻqotadi, shuning uchun tenglama asli unda boʻlmagan ildizni qabul qilishi mumkin.
Key words
- radical equationildizli tenglama
- extraneous solutionbegona ildiz
- square both sidesikkala tomonni kvadratga koʻtarmoq
- isolate the radicalildizni yolgʻiz qoldirmoq
- satisfies the equationtenglamani qanoatlantiradi
- check each solutionhar bir yechimni tekshirmoq
- the principal square rootasosiy (manfiy boʻlmagan) kvadrat ildiz
- discardtashlab yubormoq, oʻchirmoq
- no solutionyechim yoʻq
- original equationasl tenglama
Esda qoladigan uch narsa
- Kvadratga koʻtarish yechim qoʻshadi, chunki u ishorani yoʻqotadi.
- Har bir ildizni asl tenglamaga qoʻying — bu yechimning bir qismi.
- √(narsa) manfiy boʻlmaydi: oʻng tomoni manfiy chiqqan ildiz darrov oʻchadi.